4. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je polumjer veće kružnice $n$, a manje kružnice $n-1$, površina kružnog vijenca između njih je

$$n^2\pi-(n-1)^2\pi.$$

Budući da je svako drugo područje zeleno, ukupna površina zelenih područja je

$$P_z=(2^2\pi-1^2\pi)+(4^2\pi-3^2\pi)+\cdots+(100^2\pi-99^2\pi).$$

Primijenimo li formulu za razliku kvadrata $n^2-(n-1)^2=1\cdot(n-1+n)$, dobivamo

$$P_z=(1+2+3+\cdots+99+100)\pi.$$

Prema formuli za zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva, $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$, dobivamo

$$P_z=\frac{100\cdot101\pi}{2}=5050\pi.$$

Učenici koji ne znaju formulu za zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva rješenje mogu dovršiti koristeći Gaussovu dosjetku. Napišimo zbroj dvaput i zbrojimo dobivene jednakosti:

$$\begin{aligned} P_z&=\pi+2\pi+\cdots+99\pi+100\pi,\\ P_z&=100\pi+99\pi+\cdots+2\pi+\pi,\\ 2P_z&=101\pi+101\pi+\cdots+101\pi+101\pi. \end{aligned}$$

Slijedi da je $2P_z=100\cdot101\pi$, tj. $P_z=5050\pi$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, zaključujemo da je površina zelenih područja

$$P_z=(2^2\pi-1^2\pi)+(4^2\pi-3^2\pi)+\cdots+(100^2\pi-99^2\pi).$$

Budući da je $n^2\pi-(n-1)^2\pi=(2n-1)\pi$, dobivamo

$$P_z=3\pi+7\pi+11\pi+\cdots+195\pi+199\pi.$$

Napišimo ovaj zbroj dvaput, jednom u rastućem poretku, a jednom unazad, i zbrojimo dobivene jednakosti:

$$\begin{aligned} P_z&=3\pi+7\pi+\cdots+195\pi+199\pi,\\ P_z&=199\pi+195\pi+\cdots+7\pi+3\pi,\\ 2P_z&=202\pi+202\pi+\cdots+202\pi+202\pi. \end{aligned}$$

Slijedi da je $2P_z=50\cdot202\pi$, tj. $P_z=5050\pi$.