3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo stranicu većeg kvadrata s $a$, a stranicu manjeg kvadrata s $b$.

Tada je površina presjeka jednaka $\frac{2}{3}b^2$.

Površina unije jednaka je zbroju površina manjeg i većeg kvadrata umanjenom za površinu njihovog presjeka.

Zato je površina unije

$$a^2+b^2-\frac{2}{3}b^2=a^2+\frac{1}{3}b^2.$$

Prema uvjetu zadatka je

$$\frac{2}{3}b^2=\frac{1}{5}\left(a^2+\frac{1}{3}b^2\right).$$

Slijedi

$$\frac{2}{3}b^2=\frac{1}{5}a^2+\frac{1}{15}b^2,$$

tj. $\frac{9}{15}b^2=\frac{1}{5}a^2$. Dakle, omjer površina je $a^2:b^2=9:3=3:1$.

Iz toga slijedi da je omjer stranica $a:b=\sqrt{3}:1$.

Drugo rješenje.

Označimo površinu manjeg kvadrata s $3x$. Tada je površina presjeka jednaka $2x$.

Prema uvjetu zadatka površina unije je $10x$.

Površina dijela većeg kvadrata koji nije u presjeku je $10x-3x=7x$.

Slijedi da površina većeg kvadrata iznosi $2x+7x=9x$.

Omjer površina većeg i manjeg kvadrata je $9:3$, tj. $3:1$, a traženi omjer je $\sqrt{3}:1$.