5. Zadatak

Točan odgovor je $44$.

Dokažimo da barem $44$ broja moraju biti uklonjena iz danog skupa. Kao prvo, broj $1$ mora biti uklonjen iz skupa, jer bi u suprotnom s bilo kojim drugim elementom $a$ iz skupa činio umnožak $1\cdot a=a$.

Pogledajmo tročlane skupove

$$\{2,87,174\},\{3,86,258\},\ldots,\{44,45,1980\},$$

odnosno skupove oblika $\{k,89-k,k\cdot(89-k)\}$, za $k=2,3,\ldots,44$.

Iz svakog od ta $43$ skupa moramo ukloniti barem jedan broj, pa zaključujemo da zajedno s brojem $1$ ukupno moramo ukloniti barem $44$ broja.

Primjer takvog skupa iz kojeg smo uklonili $44$ broja je onaj u kojem smo uklonili brojeve $1,2,3,\ldots,44$, tj. skup $\{45,46,\ldots,2020\}$.

Umnožak bilo koja dva elementa tog skupa je barem $45\cdot46=2070>2020$, pa se sigurno ne nalazi u skupu.