2. Zadatak

Svođenjem na zajednički nazivnik dobivamo

$$\frac{1+\cos^2x}{\sin^2x}+\frac{1+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac{\cos^2x+\cos^4x+\sin^2x+\sin^4x}{\sin^2x\cos^2x}.$$

Korištenjem formule $\cos^2x+\sin^2x=1$ dobivamo da je taj izraz jednak

$$\frac{1+\cos^4x+\sin^4x}{\sin^2x\cos^2x}.$$

Svođenjem na potpuni kvadrat i ponovnom primjenom formule $\sin^2x+\cos^2x=1$ dobivamo izraz

$$\frac{1+(\cos^2x+\sin^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} =\frac{2-2\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}.$$

Rastavljanjem i korištenjem formule $\sin2x=2\sin x\cos x$ dobivamo

$$\frac{2}{\sin^2x\cos^2x}-2=\frac{8}{\sin^22x}-2.$$

Budući da je $\sin2x\in[-1,1]$, onda je $\sin^22x\in[0,1]$ i zaključujemo da zadani izraz može poprimiti sve vrijednosti iz intervala $[6,+\infty\rangle$.