4. Zadatak

Označimo sa $P(XYZ)$ površinu trokuta $XYZ$.

Neka je $V$ volumen tetraedra, $O$ oplošje, a $r$ polumjer upisane sfere. Koristit ćemo poznatu formulu

$$V=\frac{Or}{3}.$$

Neka je $P$ polovište dužine $BC$. Budući da je trokut $ABC$ jednakokračan pravokutan, imamo

$$|BC|=3\sqrt2,\qquad |AP|=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Prema Pitagorinom poučku u pravokutnom trokutu $APD$ je

$$|DP|=\sqrt{|AD|^2+|AP|^2}=\sqrt{8+\frac92}=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

Slijedi da je

$$P(BCD)=\frac12\cdot|BC|\cdot|DP|=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot\frac{5\sqrt2}{2}=\frac{15}{2}.$$

Budući da je $P(ABD)=P(ACD)=3\sqrt2$ i $P(ABC)=\frac92$, a izračunali smo da je $P(BCD)=\frac{15}{2}$, slijedi da je oplošje tetraedra

$$O=6\sqrt2+12.$$

Volumen tetraedra je

$$V=\frac16\cdot3\cdot3\cdot2\sqrt2=3\sqrt2.$$

Iz formule $V=\frac{Or}{3}$ slijedi da je

$$r=\frac{3V}{O}=\frac{9\sqrt2}{6\sqrt2+12}=\frac{3\sqrt2-3}{2}.$$

Duljinu $|DP|$ možemo izračunati i na sljedeći način. Prema Pitagorinom poučku u trokutu $ACD$ vrijedi

$$|CD|=\sqrt{|AC|^2+|AD|^2}=\sqrt{9+8}=\sqrt{17}.$$

Prema Pitagorinom poučku u trokutu $PCD$ je

$$|DP|=\sqrt{|CD|^2-|PC|^2}=\sqrt{17-\frac92}=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

Ako se ne zna formula $V=\frac{Or}{3}$, može se izvesti na sljedeći način. Neka je $I$ središte upisane sfere u tetraedru $ABCD$. Tetraedar $ABCD$ možemo rastaviti na tetraedre $ABCI$, $ABDI$, $BCDI$ i $ACDI$. Svakom od ta četiri tetraedra baza je strana tetraedra $ABCD$, a duljina visine $r$. Zato slijedi da je

$$\begin{aligned} V(ABCD)&=V(ABCI)+V(ABDI)+V(BCDI)+V(ACDI)\\ &=\frac13rP(ABC)+\frac13rP(ABD)+\frac13rP(BCD)+\frac13rP(ACD)=\frac13rO. \end{aligned}$$