7. Zadatak

Prvo ćemo rasporediti kartice bez obzira na koju stranu su okrenute (npr. možemo zamišljati da su sve okrenute stranom na kojoj je znak $X$ prema dolje). Svaki raspored može se konstruirati tako da među $10$ bijelih kartica koje ne razlikujemo redom stavljamo plavu, crvenu, zelenu, žutu i ljubičastu karticu.

Plavu karticu možemo staviti na $11$ načina (prije prve bijele, iza prve bijele, iza druge bijele, $\ldots$, iza desete bijele).

Crvenu karticu možemo staviti na $12$ načina (sada imamo $11$ kartica i crvenu možemo staviti prije prve od njih, iza druge, $\ldots$, iza jedanaeste).

Slično razmišljamo dalje, pa tako zelenu karticu možemo staviti na $13$ načina, nakon toga žutu na $14$ i na kraju ljubičastu na $15$ načina.

Dakle, tih $15$ kartica možemo rasporediti na $15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11$ načina.

Odredimo sada na koliko načina možemo odabrati na koju stranu će svaka kartica biti okrenuta.

Ako je kartica koja se nalazi na stolu (tj. donja kartica) okrenuta tako da joj je strana na kojoj je znak $X$ gore, onda sve ostale kartice moraju biti okrenute tako da im je strana na kojoj je znak $X$ gore.

Ako je donja kartica okrenuta tako da joj je strana na kojoj je znak $X$ dolje, onda su ili sve kartice okrenute tako da im je strana na kojoj je znak $X$ dolje ili je barem jedna kartica okrenuta tako da joj je strana na kojoj je znak $X$ gore. U tom drugom slučaju pretpostavimo da je donjih $k$ kartica okrenuto tako da im je strana na kojoj je znak $X$ dolje, te $(k+1)$-va kartica okrenuta tako da joj je strana na kojoj je znak $X$ gore. Tada sve kartice koje se nalaze iznad $(k+1)$-ve kartice također moraju biti okrenute tako da im je strana na kojoj je znak $X$ gore.

Broj $k$ može biti bilo koji od $1$ do $14$. Dodamo li još dva slučaja u kojima su sve kartice okrenute tako da im je strana na kojoj je znak $X$ gore, odnosno dolje, dobivamo da je ukupan broj načina da odaberemo kako će kartice biti okrenute $16$.

Konačno, raspored kartica i način na koji su okrenute su nezavisni, pa je ukupan broj načina da složimo sve kartice jednak

$$16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11.$$

Raspored kartica bez obzira na način na koji su okrenute može se argumentirati i tako da $15$ kartica na kraju zauzima $15$ mjesta: najprije odaberemo mjesto plave kartice na $15$ načina, zatim mjesto crvene na jednom od preostalih $14$ mjesta, pa zelene na jednom od preostalih $13$ mjesta itd. Ponovno dobivamo $15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11$ rasporeda.

Drugi način je da kažemo da je broj rasporeda kartica (bez obzira na način na koji su okrenute) jednak broju permutacija s ponavljanjem pri čemu se $10$ puta pojavljuje jedna vrsta objekata, a po jednom ostalih pet vrsta objekata. Prema formuli je zato broj rasporeda

$$\frac{15!}{10!}=15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11.$$