5. Zadatak

Neka je $N$ polovište dužine $CT$. Tada je $MN$ srednjica trokuta $TBC$, pa vrijedi da su pravci $MN$ i $BC$ paralelni te

$$|MN|=\frac{|BC|}{2}.$$

Također je

$$|LA|=\frac{|AD|}{2}=\frac{|BC|}{2}$$

te su pravci $LA$ i $BC$ paralelni, pa slijedi da je četverokut $LAMN$ paralelogram. Posebno, pravci $LN$ i $AM$ su paralelni.

Budući da je $N$ polovište osnovice $CT$ jednakokračnog trokuta $CLT$ dužina $LN$ visina je tog trokuta, odnosno pravci $LN$ i $CT$ su okomiti.

Budući da su pravci $LN$ i $AM$ paralelni slijedi da su pravci $AM$ i $CT$ okomiti.

Potpuno analogno zaključujemo da je pravac $AT$ okomit na pravac $CM$.

Iz dokazanog zaključujemo da je točka $M$ ortocentar trokuta $CAT$, iz čega slijedi da je $\angle MAT=\angle TCM$.