2. Zadatak

Ako prvu jednakost pomnožimo s $b$, drugu s $c$, a treću s $a$, dobivamo

$$a^3b+b^3c=b^3c+c^3a=c^3a+a^3b=abc.$$

Stoga je $a^3b=b^3c=c^3a$. Ako je jedan od brojeva $a,b,c$ jednak $0$, tada su svi jednaki $0$ i dobivamo rješenje $(a,b,c)=(0,0,0)$.

Pretpostavimo sada da su sva tri broja različita od $0$. Tada iz $a^3b=c^3a$ slijedi

$$b=\frac{c^3}{a^2}.$$

Iz $b^3c=c^3a$ slijedi

$$\frac{c^9}{a^6}\cdot c=c^3a,$$

pa je $a^7=c^7$ iz čega slijedi $a=c$.

Analogno dobijemo $c=b$ i $b=a$, pa su svi brojevi jednaki. Uvrštavanjem u početni sustav dobivamo $2a^3=a^2$, pa je $a=\frac12$ i dobivamo rješenje

$$(a,b,c)=\left(\frac12,\frac12,\frac12\right).$$

Dakle, tražene trojke su $(0,0,0)$ i $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$.