4. Zadatak
Iz ploče dimenzija uklonjen je kvadrat dimenzija , a preostali dio ploče prekriva se pločicama dimenzija (tako da svaka pločica prekriva točno četiri polja).
(a) Ako uklonimo središnji kvadrat, dokaži da je preostali dio ploče moguće pokriti pločicama dimenzija .
(b) Ako uklonimo kvadrat koji sadrži jedan ugao ploče, dokaži da preostali dio ploče nije moguće pokriti pločicama dimenzija .
(a) Primijetimo da pločicama dimenzija možemo pokriti ploču dimenzija , za bilo koje prirodne brojeve i . Ako je uklonjen središnji kvadrat, ostatak ploče možemo podijeliti na četiri dijela dimenzija kao na slici. Svaki od tih dijelova možemo pokriti, pa možemo pokriti cijelu ploču.
(b) Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je uklonjen donji lijevi kvadrat. Indeksiramo stupce ploče slijeva nadesno brojevima od do , a retke odozgo prema dolje brojevima od do . Bojamo u crno ona polja ploče čija je razlika indeksa djeljiva s .
Uključujući kvadrat, crnih polja je ukupno
Od toga, u uklonjenom kvadratu je crnih polja.
U cijeloj ploči ostaje
crnih polja.
Svaka pločica koju postavimo na ovako obojanu ploču će prekriti točno jedno crno polje, stoga ne može postojati pokrivanje cijele ploče sa
pločica.