3. Zadatak

Zadanu jednadžbu možemo zapisati na sljedeći način:

$$k\cdot\left(2^{a+b}-2^{2n}+2^{n+1}-1\right)=2^n+2^b-1. \tag{1}$$

Ako je $a+b>2n$, onda je

$$2^{a+b}-2^{2n}+2^{n+1}-1 \geq2^{a+b}-2^{a+b-1}+2^{n+1}-1 =2^{a+b-1}+2^{n+1}-1.$$

Kako je $a+b-1\geq b$ i $n+1>n$, slijedi da je taj izraz strogo veći od $2^n+2^b-1$, pa je lijeva strana jednakosti $(1)$ strogo veća od desne. Dakle, $a+b\leq2n$.

Ako je $a+b<2n$, onda je

$$2^{2n}-2^{a+b}\geq2^{2n}-2^{2n-1}=2^{2n-1},$$

pa je

$$2^{a+b}-2^{2n}+2^{n+1}-1\leq-2^{2n-1}+2^{n+1}-1.$$

Ako je $2n-1\geq n+1$, slijedi da je lijeva strana jednakosti $(1)$ negativna a desna pozitivna.

Ako je $2n-1<n+1$ slijedi $n<2$, ali za $n=1$ ne može vrijediti $a+b<2n$. Dakle, $a+b\geq2n$.

Slijedi da nužno mora vrijediti $a+b=2n$. Jednadžbu $(1)$ tada možemo zapisati kao

$$k\cdot(2^{n+1}-1)=2^n+2^b-1.$$

Kako je $2^n+2^b-1\geq2^{n+1}-1$, slijedi $b\geq n$. Promatranjem jednadžbe modulo $2^n$ dobivamo da je $k\equiv1\pmod{2^n}$.

Ako je $k>1$, onda je $k\geq2^n+1$. Međutim, tada je

$$k\cdot(2^{n+1}-1)\geq(2^n+1)\cdot(2^{n+1}-1)=2^{2n+1}+2^n-1,$$

pa je $b\geq2n+1$. To je u kontradikciji s $a+b=2n$. Zaključujemo da je $k=1$ i

$$2^{n+1}-1=2^n+2^b-1,$$

iz čega slijedi $b=n$. Kako je $a+b=2n$, vrijedi i $a=n$.

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu utvrđujemo da je $(n,n,1,n)$ zaista rješenje za svaki prirodni broj $n$. Dakle, rješenja su sve četvorke $(n,n,1,n)$ za prirodan broj $n$.