3. Zadatak

Budući da dijagonale kvadrata raspolavljaju kutove pri njegovim vrhovima te je četverokut $ABMD$ tetivan, imamo

$$\angle PMS=\angle AMB=\angle ADB=45^\circ=\angle BDC=\angle PDS.$$

Odavde slijedi da je četverokut $PSMD$ tetivan. Zbog toga i činjenice da točka $M$ leži na kružnici opisanoj kvadratu $ABCD$, slijedi

$$\angle DPS=180^\circ-\angle DMS=180^\circ-\angle DMB=\angle DAB=90^\circ.$$

Kako se dijagonale kvadrata sijeku pod pravim kutom, oba su pravca $PS$ i $AC$ okomita na dijagonalu $BD$ pa su ti pravci paralelni.

Analogno možemo dokazati da je četverokut $QRCM$ tetivan te da vrijedi da je $\angle QRC=90^\circ$.

Odavde vidimo da je pravac $QR$ okomit na pravac $AC$ koji je paralelan s pravcem $PS$. Dakle, dužine $\overline{PS}$ i $\overline{QR}$ međusobno su okomite, što je i trebalo dokazati.