2. Zadatak

Označimo zadani izraz s $P$.

Općenito znamo da vrijedi $\sin2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi$, odakle je $\cos\varphi=\frac{\sin2\varphi}{2\sin\varphi}$. Zato $P$ možemo zapisati u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} P&=\cos\alpha\cdot\cos2\alpha\cdot\cdots\cdot\cos1010\alpha\\ &=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}\cdot\frac{\sin4\alpha}{2\sin2\alpha}\cdot\cdots\cdot\frac{\sin2020\alpha}{2\sin1010\alpha}\\ &=2^{-1010}\cdot\frac{\sin2\alpha\cdot\sin4\alpha\cdot\cdots\cdot\sin2020\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin2\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1010\alpha}. \end{aligned}$$

Primijetimo da su u gornjim jednakostima svi izrazi dobro definirani: član $\sin(k\alpha)$ jednak je nuli tek kada je $k$ višekratnik broja $2021$.

Kraćenjem prvih $505$ faktora u brojniku s odgovarajućim faktorima u nazivniku dobivamo

$$P=2^{-1010}\cdot\frac{\sin1012\alpha\cdot\sin1014\alpha\cdot\cdots\cdot\sin2020\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin3\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1009\alpha}$$ $$=2^{-1010}\cdot\frac{\sin2020\alpha\cdot\sin2018\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1012\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin3\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1009\alpha},$$

Budući da za $k=506,507,\ldots,1010$ vrijedi

$$\sin(2k\alpha) =\sin\left(\frac{4k\pi}{2021}\right) =-\sin\left(2\pi-\frac{4k\pi}{2021}\right) =-\sin\left(2\pi\frac{2021-2k}{2021}\right) =-\sin((2021-2k)\alpha),$$

konačno dobivamo

$$\begin{aligned} P&=2^{-1010}\cdot\frac{\sin2020\alpha\cdot\sin2018\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1012\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin3\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1009\alpha}\\ &=2^{-1010}\cdot\frac{(-1)\cdot\sin\alpha\cdot(-1)\cdot\sin3\alpha\cdot\cdots\cdot(-1)\cdot\sin1009\alpha}{\sin\alpha\cdot\sin3\alpha\cdot\cdots\cdot\sin1009\alpha}\\ &=2^{-1010}\cdot(-1)^{505}\\ &=-2^{-1010}. \end{aligned}$$