5. Zadatak

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$. Označimo s $v_a$, $v_b$ i $v_c$ duljine visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, te s $t_a$, $t_b$ i $t_c$ duljine težišnica iz vrhova $A$, $B$ i $C$, tim redom. Nadalje, označimo s $P_A$, $P_B$ i $P_C$ polovišta dužina $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$, te neka su $N_A$, $N_B$ i $N_C$ nožišta visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$, tim redom.

Kako je visina najkraća spojnica vrha trokuta s točkama nasuprotne stranice, vrijedi da je duljina visine manja od ili jednaka duljini težišnice iz istog vrha, pri čemu jednakost vrijedi samo ako je trokut jednakokračan. Zato se duljina visine i težišnice iz istog vrha zbog pretpostavke zadatka ne mogu podudarati. Neka bez smanjenja općenitosti vrijedi $t_a=v_b$. Tada ne može vrijediti $t_b=v_a$ jer bismo u suprotnom imali

$$t_a+t_b=v_b+v_a<t_b+t_a.$$

Neka je zato bez smanjenja općenitosti $t_b=v_c$.

Neka je $Q$ polovište dužine $\overline{N_BC}$. Tada je $\overline{QP_A}$ srednjica pravokutnog trokuta $BN_BC$ pa je okomita na dužinu $\overline{AC}$. Vrijedi

$$|P_AQ|=\frac12|BN_B|=\frac12v_b=\frac12t_a=\frac12|P_AA|.$$

Trokut $P_AQA$ je pravokutan trokut u kojemu je jedna kateta dvostruko kraća od hipotenuze, pa je zato $\angle CAP_A=30^\circ$. Analogno se pokaže da je $\angle P_BBA=30^\circ$.

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$. U trokutima $BP_BA$ i $AP_BT$ vrijedi $\angle P_BBA=\angle P_BAT$, te im je kut pri vrhu $P_B$ zajednički, pa su zato slični prema K—K teoremu o sličnosti. Odavde slijedi

$$\frac{|BP_B|}{|AP_B|}=\frac{|P_BA|}{|P_BT|} \Longrightarrow\frac{t_b}{b/2}=\frac{b/2}{t_b/3} \Longrightarrow t_b=\frac{\sqrt3}{2}b.$$

Budući da je $t_b=v_c$, iz pravokutnog trokuta $CN_CA$ zaključujemo da je $\angle CAN_C=60^\circ$. Ovisno o tome nalazi li se $N_C$ na stranici $\overline{AB}$ ili ne, imamo da je $\angle CAB=60^\circ$ ili $\angle CAB=120^\circ$. Budući da prvi slučaj povlači da je težišnica iz vrha $A$ ujedno i simetrala toga kuta (što je u kontradikciji s pretpostavkom da je trokut raznostraničan), zaključujemo da je nužno $\angle CAB=120^\circ$.

U trokutu $BAP_B$ imamo

$$\angle BP_BA=180^\circ-\angle BAP_B-\angle ABP_B=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ=\angle ABP_B,$$

pa je taj trokut jednakokračan i imamo $c=|AB|=|AP_B|=\frac b2$, tj. $b=2c$. Iz kosinusovog poučka primijenjenog na $ABC$ sada slijedi

$$a=\sqrt{4c^2+c^2-4c^2\cos120^\circ}=c\sqrt7,$$

a iz kosinusovog poučka primijenjenog na $AP_CC$ dobivamo

$$t_c=\sqrt{\frac14c^2+4c^2-2c^2\cos120^\circ}=\frac{c\sqrt{21}}{2}.$$

Površina trokuta $ABC$ iznosi

$$P=\frac12c\cdot v_c=\frac12c\cdot t_b=\frac12c\cdot\frac{\sqrt3}{2}b=\frac{c^2\sqrt3}{2},$$

pa je zato duljina visine iz vrha $A$ jednaka $v_a=\frac{2P}{a}=c\sqrt{\frac37}$. Konačno,

$$\frac{v_a}{t_c}=\frac{\sqrt{\frac37}}{\frac{\sqrt{21}}2}=\frac27.$$