1. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako su tri najmanja djelitelja koje $n$ može imati $1$, $2$ i $3$, tako su tri najveća moguća djelitelja broja $n$ redom $\frac{n}{1}$, $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{3}$.

Jasno je da niti $a$, niti $b$ ne mogu biti jednaki $n$. Također, ne mogu oba biti jednaka $\frac{n}{2}$, jer bi tada $a+b$ bilo veće od $n-1$.

Prema tome, imamo

$$n-1=a+b\le\frac{n}{3}+\frac{n}{2}=\frac56n,$$

odakle slijedi $n\le6$.

Nadalje, budući da je lijeva strana zadane jednadžbe veća od ili jednaka $2$, vidimo da je $n\ge3$.

Za $n=3$ možemo uzeti $a=b=1$ pa imamo $1+1=2=3-1$ pa je $n=3$ jedno rješenje.

Za $n=4$ možemo uzeti $a=1$, $b=2$ pa vrijedi $1+2=3=4-1$.

Za $n=5$ uočimo da su njegovi jedini djelitelji brojevi $1$ i $5$. Niti $a$, niti $b$ ne mogu biti jednaki $5$, a za $a=b=1$ imamo $1+1=2\ne5-1$.

Za $n=6$ možemo uzeti $a=2$, $b=3$ i imamo $2+3=5=6-1$.

Prema tome, rješenja su $n=3,4,6$.

Drugo rješenje.

Neka je $d$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$. Tada $d$ dijeli i $n$. S druge strane, zbog zadane jednadžbe slijedi da $d$ dijeli i $a+b$, odnosno $n-1$. Dakle, $d$ dijeli $n-1$ i $n$. Kako su uzastopni prirodni brojevi relativno prosti, nužno je $d=1$. Prema tome, $a$ i $b$ su relativno prosti.

Broj $n$ sada možemo zapisati kao $n=abk$ za neki $k\in\mathbb N$. Posebno vrijedi $a+b=abk-1\ge ab-1$. Odavde imamo

$$ab-a-b+1\le1+1,\qquad\text{tj.}\qquad(a-1)(b-1)\le2.$$

Kako su $a-1$ i $b-1$ nenegativni brojevi, razlikujemo tri mogućnosti: ili je neki od brojeva $a$ i $b$ jednak $1$, ili su oba jednaka $2$, ili je jedan jednak $2$, a drugi jednak $3$.

U prvom slučaju bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a=1$. Tada iz početne jednakosti imamo $1+b=bk-1$, odnosno $b(k-1)=2$. Slijedi $b=1$, $k=3$, $n=3$ ili $b=2$, $k=2$, $n=4$. Provjerom vidimo da su to zaista rješenja početne jednakosti.

U drugom slučaju vrijedi $a=b=2$. Tada slijedi $n-1=2+2=4$, odnosno $n=5$. Budući da $2$ nije djelitelj broja $5$, u ovom slučaju ne dobivamo rješenje.

U trećem slučaju bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a=2$ i $b=3$. Tada slijedi $n-1=2+3$, odnosno $n=6$. Kako su $2$ i $3$ djelitelji broja $6$, ovo je također rješenje.

Prema tome, rješenja su $n=3,4,6$.