4. Zadatak

Bez smanjenja općenitosti, gledamo dužine iz vrha $A$. Duljina najdulje dijagonale je $|AE|$, a najkraće $|AC|$ i traži se $|AE|-|AC|$. Primijetimo da su trokuti $ADG$ i $BEH$ jednakostranični. Zato, i zbog jednakosti kuteva nad istim lukom deveterokutu opisane kružnice, vrijedi:

$$\angle AED=\angle AGD=60^\circ\quad\text{i}\quad\angle EAB=\angle EHB=60^\circ.$$

Prema tome, četverokut $ABDE$ je jednakokračan trapez. Povucimo kroz vrh $B$ pravac paralelan s $\overline{DE}$. Neka je $T$ njegovo sjecište s $\overline{AE}$.

Četverokut $TEDB$ je paralelogram i vrijedi

$$|AE|-|AC|=|AE|-|BD|=|AE|-|TE|=|AT|.$$

Primijetimo da je trokut $ABT$ jednakostraničan pa vrijedi:

$$|AE|-|AC|=|AT|=|AB|=a.$$