2. Zadatak

Neka su $E$ i $F$ redom polovišta dijagonala $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$. Nadalje, neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ redom nožišta okomica iz vrhova $A$, $B$, $C$, $D$ na pravac $EF$.

Zbog $\angle AEA_1=\angle CEC_1$ (vršni kutovi) i $|AE|=|EC|$, vrijedi da su pravokutni trokuti $AA_1E$ i $CC_1E$ sukladni. Zbog toga je $|AA_1|=|CC_1|$. Analogno, trokuti $BB_1F$ i $DD_1F$ su sukladni i vrijedi $|BB_1|=|DD_1|$. Vrijedi

$$\begin{aligned}P(ABN)&=P(AMN)+P(MBN)\\&=\frac{|MN|\cdot|AA_1|}2+\frac{|MN|\cdot|BB_1|}2\\&=\frac12|MN|(|AA_1|+|BB_1|)\end{aligned}$$

i slično:

$$\begin{aligned}P(CDM)&=P(CMN)+P(MDN)\\&=\frac{|MN|\cdot|CC_1|}2+\frac{|MN|\cdot|DD_1|}2\\&=\frac12|MN|(|CC_1|+|DD_1|).\end{aligned}$$

Dakle,

$$P(ABN)=\frac12|MN|(|AA_1|+|BB_1|)=\frac12|MN|(|CC_1|+|DD_1|)=P(CDM).$$