Najprije uočimo da
x 2 − x y + y 2 x 2 + x y + y 2 ≥ 1 3 ⟺ 3 ( x 2 − x y + y 2 ) ≥ x 2 + x y + y 2 ⟺ 2 ( x − y ) 2 ≥ 0 , \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac13\iff3(x^2-xy+y^2)\ge x^2+xy+y^2\iff2(x-y)^2\ge0, x 2 + x y + y 2 x 2 − x y + y 2 ≥ 3 1 ⟺ 3 ( x 2 − x y + y 2 ) ≥ x 2 + x y + y 2 ⟺ 2 ( x − y ) 2 ≥ 0 , pa je
x 3 + y 3 x 2 + x y + y 2 = x 2 − x y + y 2 x 2 + x y + y 2 ⋅ ( x + y ) ≥ 1 3 ( x + y ) . \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot(x+y)\ge\frac13(x+y). x 2 + x y + y 2 x 3 + y 3 = x 2 + x y + y 2 x 2 − x y + y 2 ⋅ ( x + y ) ≥ 3 1 ( x + y ) . Zato vrijedi
x 3 + y 3 x 2 + x y + y 2 + y 3 + z 3 y 2 + y z + z 2 + z 3 + x 3 z 2 + z x + x 2 ≥ 1 3 ( x + y ) + 1 3 ( y + z ) + 1 3 ( z + x ) = 2 3 ( x + y + z ) . \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+zx+x^2}\ge\frac13(x+y)+\frac13(y+z)+\frac13(z+x)=\frac23(x+y+z). x 2 + x y + y 2 x 3 + y 3 + y 2 + y z + z 2 y 3 + z 3 + z 2 + z x + x 2 z 3 + x 3 ≥ 3 1 ( x + y ) + 3 1 ( y + z ) + 3 1 ( z + x ) = 3 2 ( x + y + z ) . Konačno, zbog nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine i zbog uvjeta zadatka vrijedi 2 3 ( x + y + z ) ≥ 2 x y z 3 = 2 1 3 = 2 \dfrac23(x+y+z)\ge2\sqrt[3]{xyz}=2\sqrt[3]1=2 3 2 ( x + y + z ) ≥ 2 3 x y z = 2 3 1 = 2
