6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka $P(XYZ)$ označava površinu proizvoljnog trokuta $XYZ$.

Neka je $v_b$ duljina visine iz vrha $B$ u trokutu $ABD$. Ta visina poklapa se s visinom iz vrha $B$ u trokutu $BDE$, pa je

$$P(BDE)=\frac12\cdot|DE|\cdot v_b =\frac12\cdot\frac{|AD|}{2}\cdot v_b =\frac12P(ABD).$$

Analogno zaključujemo da je $P(CDE)=\frac12P(ADC)$.

Zato je

$$P(BEC)=P(BDE)+P(CDE) =\frac{P(ABD)+P(ADC)}{2} =\frac{P(ABC)}{2}=\frac12.$$

Ako je $v_c$ duljina visine iz vrha $C$ u trokutu $BCE$ (i trokutu $CFE$), sličnim promatranjem kao ranije zaključujemo

$$P(CFE)=\frac12\cdot|EF|\cdot v_c =\frac12\cdot\frac{|BE|}{2}\cdot v_c =\frac12P(BCE)=\frac14.$$

Konačno, ako je $v_e$ duljina visine iz vrha $E$ u trokutu $EFC$ (i trokutu $EFG$), dobivamo

$$P(EFG)=\frac12\cdot|FG|\cdot v_e =\frac12\cdot\frac{|CF|}{2}\cdot v_e =\frac12P(EFC)=\frac18.$$

Drugo rješenje.

Neka su $M$ i $N$ sjecišta pravca $BC$ s njemu okomitim pravcima kroz $A$ i $E$, redom.

Trokutima $AMD$ i $END$ je kut $\angle BDA$ zajednički, a kutovi pri vrhovima $M$ i $N$ pravi, pa su slični prema K–K poučku o sličnosti.

Zato je $|EN|:|AM|=|ED|:|AD|=1:2$.

Površina trokuta $EBC$ je zato

$$P(EBC)=\frac12\cdot|BC|\cdot|EN| =\frac12\cdot|BC|\cdot\frac{|AM|}{2} =\frac12P(ABC)=\frac12.$$

Dalje nastavljamo kao u prošlom rješenju.