5. Zadatak

Neka je točka $T$ presjek pravca $CP$ i simetrale kuta $\angle BAC$ te neka je $\alpha=\angle CAB$. Tada je

$$\angle CAT=\frac{\alpha}{2}.$$

Također, kako je trokut $ABC$ pravokutan, slijedi $\angle ABC=90^\circ-\alpha$.

Za kut $\angle PBC$ vrijedi

$$\angle PBC=\angle PBA+\angle ABC=90^\circ+(90^\circ-\alpha)=180^\circ-\alpha.$$

Promotrimo trokut $PBC$. Zbog $|BP|=|BC|$, jednakokračan je, pa imamo

$$\angle BCT=\angle CPB.$$

Ta dva kuta zbrojena sa $\angle PBC=180^\circ-\alpha$ daju $180^\circ$, pa zaključujemo da je

$$\angle BCT=\angle CPB=\frac{\alpha}{2}.$$

Nadalje, imamo

$$\angle TCA=\angle BCA-\angle BCT=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

U trokutu $CAT$ vrijedi

$$\angle CTA=180^\circ-\angle TCA-\angle CAT =\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{\alpha}{2}=90^\circ,$$

što je i trebalo dokazati.