7. Zadatak

Rastav broja $900$ na proste faktore je $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$. Među dekadskim znamenkama različitim od nule samo je znamenka pet djeljiva s $5$, tako da točno dvije znamenke promatranog peteroznamenkastog broja moraju biti $5$.

Postoji $\frac{5\cdot4}{2}=10$ načina kako dvije znamenke $5$ možemo rasporediti na neke od pet pozicija u peteroznamenkastom broju.

U peteroznamenkastom broju sada treba odrediti preostale tri znamenke koje u umnošku daju $2^2\cdot3^2=36$ i rasporediti ih na tri preostala mjesta.

Primijetimo da $2^2\cdot3^2=36$ možemo na $5$ načina rastaviti kao umnožak tri znamenke:

$$1\cdot4\cdot9, \qquad 2\cdot3\cdot6, \qquad 1\cdot6\cdot6, \qquad 2\cdot2\cdot9, \qquad 3\cdot3\cdot4.$$

U prva dva slučaja sve tri znamenke su različite, pa je $3\cdot2\cdot1=6$ različitih načina za razmjestiti te tri znamenke na preostala mjesta.

U zadnja tri slučaja imamo tri znamenke od kojih su dvije jednake. Određivanjem jednog od tri mjesta na kojem upisujemo jedinstvenu znamenku jednoznačno određujemo mjesta preostalim (jednakim) znamenkama. Zato u ovim slučajevima postoje $3$ različita razmještaja tih znamenaka.

Stoga, zaključujemo da je ukupan broj peteroznamenkastih brojeva s traženim svojstvom

$$10\cdot(2+2+3+3+3)=210.$$

Ako učenici ne promatraju znamenke $5$ odvojeno, već svedu problem na slučajeve

$$1\cdot4\cdot9\cdot5\cdot5, \quad 2\cdot3\cdot6\cdot5\cdot5, \quad 1\cdot6\cdot6\cdot5\cdot5, \quad 2\cdot2\cdot9\cdot5\cdot5, \quad 3\cdot3\cdot4\cdot5\cdot5,$$

dobiva se isti rezultat.