2. Zadatak

Uočimo da je $(2+\sqrt5)\cdot(\sqrt5-2)=1$, odnosno

$$\sqrt5-2=\frac1{2+\sqrt5}.$$

Supstitucijom $t=(2+\sqrt5)^{x^2-4x+2}$ početna jednadžba postaje

$$t^2-18t+1=0.$$

Rješenja gornje kvadratne jednadžbe su $t_1=9+4\sqrt5$ i $t_2=9-4\sqrt5$.

Uvrštavanjem prvog rješenja $t_1=9+4\sqrt5$ natrag u supstituciju redom imamo

$$\left(2+\sqrt5\right)^{x^2-4x+2} =9+4\sqrt5 =\left(2+\sqrt5\right)^2,$$

iz čega slijedi da je $x^2-4x+2=2$, tj. $x^2-4x=0$.

Rješavanjem kvadratne jednadžbe $x^2-4x=0$ dobivamo $x_1=0$ i $x_2=4$.

Uvrštavanjem drugog rješenja $t_2=9-4\sqrt5$ natrag u supstituciju redom imamo

$$\left(2+\sqrt5\right)^{x^2-4x+2} =9-4\sqrt5 =\left(2-\sqrt5\right)^2 =\left(2+\sqrt5\right)^{-2},$$

iz čega slijedi da je $x^2-4x+2=-2$, tj. $x^2-4x+4=0$.

Rješavanjem kvadratne jednadžbe $x^2-4x+4=0$ dobivamo $x_3=2$.

Dakle, sva rješenja početne jednadžbe su $x_1=0$, $x_2=4$ i $x_3=2$.