5. Zadatak

Postavimo promatrane točke u koordinatni sustav, tako da je pravac $p$ na $x$-osi. Koordinate prve točke su $(0,0)$, a druge točke $(1,0)$, čime su određene koordinate svih ostalih točaka.

Sve točke su oblika

$$\left(\frac m2,\frac{n\sqrt3}{2}\right),$$

gdje su $m$ i $n$ cijeli brojevi i $m+n$ paran. Naime, s točkama $(a,0)$ i $(b,0)$ na pravcu $p$, jednakostraničan trokut čini i točka

$$\left(\frac{a+b}{2},\frac{(b-a)\sqrt3}{2}\right).$$

Obojajmo sve točke u neku od $3$ boje, ovisno o ostatku koji $m$ u zapisu

$$\left(\frac m2,\frac{n\sqrt3}{2}\right)$$

daje pri dijeljenju s $3$.

Promotrimo točke

$$A=\left(\frac m2,\frac{n\sqrt3}{2}\right),\qquad B=\left(\frac a2,\frac{b\sqrt3}{2}\right).$$

Odredimo koordinate dviju točaka koje tvore jednakostranične trokute s $A$ i $B$. Najprije primijetimo da polovište dužine $AB$ ima koordinate

$$P=\left(\frac{m+a}{4},\frac{(n+b)\sqrt3}{4}\right).$$

Dalje, znamo da se točke koje s $A$ i $B$ čine jednakostraničan trokut nalaze na simetrali promatrane dužine, i to udaljene za $\frac{\sqrt3}{2}|AB|$ od $P$. Dakle, potrebno je pronaći vektor okomit na dužinu $AB$, skalirati ga i pribrojiti točki $P$. Vektori okomiti na

$$\overrightarrow{AB}=\left(\frac{m-a}{2},\frac{(n-b)\sqrt3}{2}\right)$$

duljine $|AB|$ su

$$\vec v=\left(\frac{(n-b)\sqrt3}{2},\frac{a-m}{2}\right)$$

i $-\vec v$. Stoga su tražene točke

$$P\pm\frac{\sqrt3}{2}\vec v =\left( \frac{\frac{m+a\pm3(n-b)}{2}}{2}, \frac{\frac{n+b\pm(a-m)}{2}}{2}\sqrt3 \right).$$

Promotrimo sada sumu brojnika $x$-koordinata triju promatranih točaka.

$$m+a+\frac{m+a\pm3(n-b)}{2} =\frac{3(m+a\pm(n-b))}{2} \equiv0\pmod3.$$

Budući da suma tri broja može biti djeljiva s $3$ samo ako svi daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$, ili ako svi daju različit, zaključujemo da je svaki jednakostraničan trokut jednobojan ili raznobojan.

Budući da boje kojom su obojani vrhovi (boja $0$) ima za $1$ više od preostale dvije boje, zaključujemo da Josipova točka mora biti boje $0$.

Pokažimo induktivno da svi vrhovi boje $0$ mogu ostati neizbrisani. Radimo indukciju po $k$, gdje je $3k$ duljina stranice početnog velikog trokuta, odnosno na stranici se nalazi $3k+1$ točaka (trokut veličine $3k+1$).

Kao bazu demonstriramo slučajeve $k=0$ (trivijalno) i $k=1$. U slučaju $k=1$, točke boje $0$ su vrhovi i centralna točka. Na slici se vidi koje trojke Josip treba brisati kako bi mu ostale samo točke u pitanju.

Korak za $k+1$. Odaberimo proizvoljnu točku boje $0$ u trokutu veličine $3k+4$. Ta točka se nalazi u nekom od $3$ trokuta veličine $3k+1$ koja sadržavaju vrh trokuta veličine $3k+4$, osim ako je $k=1$ i radi se o centralnoj točci velikog trokuta. U tom slučaju možemo postići da samo ona ostane na način opisan na slici ispod.

Po pretpostavci indukcije unutar tog $3k+1$ trokuta možemo izbrisati sve osim odabrane točke. Preostala su nam $3$ retka uz jednu od stranica trokuta veličine $3k+4$.

Sve točke i $3$ retka uz jednu od stranica trokuta veličine $3k+4$ možemo obrisati na jedan od dva dolje prikazana načina, ovisno o parnosti broja $k$.

Kako je ukupan broj točaka jednak $\frac{(1+2026)\cdot2026}{2}=2027\cdot1013$, broj Josipovih točaka je

$$\frac{2027\cdot1013-1}{3}+1.$$