3. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz uvjeta $|BC|>|AC|$ slijedi da se točka $Q$ nalazi na produžetku dužine $AC$ preko točke $C$, a točka $S$ na produžetku dužine $BC$, također preko točke $C$. Označimo s $M$ polovište dužine $AB$.

Budući da je $\angle BMQ=\angle BSQ=90^\circ$, četverokut je $BQSM$ tetivan. Zato vrijedi

$$\angle MSB=\angle MQB.$$

Budući da je $\angle PRQ=\angle PSQ=90^\circ$, zaključujemo da je četverokut $PQSR$ tetivan. Iz toga zaključujemo da je

$$\angle RQP=\angle RSP.$$

Budući da je pravac $MQ$ simetrala dužine $AB$, slijedi da je

$$\angle AQM=\angle MQB.$$

Vrijedi

$$\angle RSP=\angle RQP=\angle AQM=\angle MQB=\angle MSB=\angle MSP.$$

Dakle, točke $S$, $R$ i $M$ su kolinearne, što je i trebalo pokazati.

Drugo rješenje.

Neka je točka $M$ polovište dužine $AB$, a točka $X$ sjecište pravaca $RS$ i $MP$. Želimo pokazati da se točke $M$ i $X$ podudaraju.

Koristeći uobičajene oznake za duljine stranica i veličine kutova trokuta $ABC$, iz pravokutnih trokuta $AMQ$ i $PMB$ zaključujemo

$$|QM|=\frac c2\tan\alpha,\qquad |PM|=\frac c2\tan\beta,\qquad |QP|=|QM|-|PM|=\frac c2(\tan\alpha-\tan\beta).$$

Budući da pravokutni trokuti $QSP$ i $PMB$ imaju vršne kutove u $P$, vrijedi $\angle QPS=\angle MPB=90^\circ-\beta$ te je

$$|PS|=|QP|\cos\angle QPS =\frac c2(\tan\alpha-\tan\beta)\cos(90^\circ-\beta) =\frac c2\sin\beta(\tan\alpha-\tan\beta).$$

S obzirom na to da je $\angle PRQ=\angle PSQ=90^\circ$, četverokut $PQSR$ je tetivan. Zato vrijedi

$$\angle XSP=\angle RSP=\angle RQP=\angle AQM=90^\circ-\alpha.$$

Nadalje, promatrajući trokut $PSX$ određujemo

$$\angle PXS =180^\circ-\angle XSP-\angle SPX =180^\circ-(90^\circ-\alpha)-(90^\circ+\beta) =\alpha-\beta,$$

pa primjenom poučka o sinusima dobivamo

$$\frac{|PS|}{\sin\angle PXS} =\frac{|PX|}{\sin\angle XSP}.$$

Slijedi

$$|PX| =\frac{\sin\angle XSP}{\sin\angle PXS}|PS| =\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{\sin(\alpha-\beta)} \cdot\frac c2\sin\beta(\tan\alpha-\tan\beta)$$ $$=\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha-\beta)}\cdot\frac c2\sin\beta \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right)$$ $$=\frac c2\sin\beta\cdot \frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha-\beta)} \cdot\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$$ $$=\frac c2\sin\beta\cdot\frac1{\cos\beta} =\frac c2\tan\beta =|PM|,$$

čime smo dokazali tvrdnju.