5. Zadatak

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji prirodni broj $n$ takav da su brojevi

$$a_n,\quad a_n+d,\quad a_n+2d,\quad\ldots,\quad a_n+11d$$

(njih 12 uzastopnih) prosti.

Ako je $a_n\le11$, onda $a_n$ dijeli $a_n+a_nd$, pa broj $a_n+a_nd$ ne može biti prost. Zato je $a_n>11$.

Pokazat ćemo da $p$ dijeli $d$ za $p\in\{2,3,5,7,11\}$. Promotrimo brojeve

$$a_n,\quad a_n+d,\quad\ldots,\quad a_n+(p-1)d.$$

Ako je $d$ relativno prost s $p$ (tj. $p$ ne dijeli $d$), ti brojevi daju međusobno različite ostatke pri dijeljenju s $p$. Stoga je barem jedan od navedenih brojeva djeljiv s $p$, ali to je nemoguće jer su to prosti brojevi veći od $p$. Dakle, $d$ je djeljiv s $p$.

Konačno, vidimo da je $d$ djeljiv s $2,3,5,7,11$, što znači da je

$$d\ge2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310,$$

što je kontradikcija s uvjetom da je $d\le2018$. Dakle, nemoguće je da 12 (a time ni više) uzastopnih članova niza $(a_n)$ budu prosti brojevi.

Napomena. Poznata je tvrdnja da za prost broj $p$, i broj $d$ koji nije djeljiv s $p$, brojevi

$$0,d,2d,\ldots,(p-1)d$$

daju različite ostatke pri dijeljenju s $p$, pa ju učenici ne moraju dokazivati. Oni učenici kojima ta tvrdnja nije poznata mogu je jednostavno dokazati na sljedeći način.

Pretpostavimo da postoje $i,j\in\{0,1,\ldots,p-1\}$, $i<j$, takvi da brojevi $jd$ i $id$ daju isti ostatak pri dijeljenju $p$. Tada je $(j-i)d$ djeljiv brojem $p$, a to je nemoguće jer je $j-i<p$ i $d$ nije djeljiv s $p$.