2. Zadatak

Prvo rješenje.

Nejednakost dokazujemo matematičkom indukcijom po $n$.

Za $n=1$ imamo

$$\frac12+\frac13+\frac14=\frac{13}{12}>1.$$

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$, tj. da je

$$S_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>1.$$

Računamo

$$S_{n+1} =\frac1{n+2}+\frac1{n+3}+\cdots+\frac1{3n+1} +\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}+\frac1{3n+4}$$ $$=S_n-\frac1{n+1} +\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}+\frac1{3n+4}.$$

Dovoljno je pokazati

$$-\frac1{n+1} +\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}+\frac1{3n+4}>0.$$

Vrijedi

$$-\frac1{n+1} +\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}+\frac1{3n+4}$$ $$=\frac{-3(3n+2)(3n+4)+(3n+3)(3n+4)+(3n+2)(3n+4)+(3n+2)(3n+3)} {(3n+2)(3n+3)(3n+4)}$$ $$=\frac{2}{(3n+2)(3n+3)(3n+4)}>0.$$

Ovime smo proveli korak. Po principu matematičke indukcije dana nejednakost vrijedi za svaki prirodni broj $n$.

Drugo rješenje.

Primijetimo da je s lijeve strane nejednakosti $2n+1$ brojeva, te primijenimo na brojeve $n+1,n+2,\ldots,n+(2n+1)$ nejednakost između aritmetičke i harmonijske sredine. Dobivamo

$$\frac{(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+(2n+1))}{2n+1} \ge \frac{2n+1}{\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{n+(2n+1)}}.$$

Budući da brojevi nisu međusobno jednaki, ne vrijedi jednakost, već stroga nejednakost. Sređivanjem dobivamo

$$\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1} > \frac{(2n+1)^2}{(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+(2n+1))}.$$

Konačno, kako je

$$(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+(2n+1)) =n(2n+1)+\frac{(2n+1)(2n+2)}2 =(2n+1)^2,$$

dobivamo traženu nejednakost.