1. Zadatak

Dvoznamenkasti broj $ab$ ne može biti babilonski jer bi tada bilo $10a+b=b$, odnosno $a=0$. Dakle, nema dvoznamenkastih babilonskih brojeva.

Troznamenkasti broj $abc$ je babilonski ako i samo ako je

$$100a+10b+c=60b+c,$$

odnosno ako i samo ako je $2a=b$. To znači da su svi troznamenkasti babilonski brojevi oblika $12c,24c,36c$ i $48c$, gdje je $c$ proizvoljna znamenka. Dakle, troznamenkastih babilonskih brojeva ima $40$.

Četveroznamenkasti broj $abcd$ je babilonski ako i samo ako je

$$1000a+100b+10c+d=3600b+60c+d,$$

odnosno ako i samo ako je

$$20a=70b+c.$$

Kako su brojevi $20a$ i $70b$ djeljivi s $10$, zaključujemo da je i broj $c$ djeljiv s $10$, to znači da je $c=0$. Sada dobivamo da je $abcd$ babilonski ako i samo ako je $2a=7b$, $c=0$, a $d$ bilo koja znamenka.

Kako je $2a$ paran broj, takav mora biti i $7b$, odnosno, $b$ mora biti paran. Ako je $b=0$, onda je $a=0$, što je nemoguće. Za $b=2$ dobijemo $a=7$, a za $b\ge4$ slijedi $a\ge14$, što je također nemoguće.

Dakle, svi četveroznamenkasti babilonski brojevi su oblika $720d$, gdje je $d$ proizvoljna znamenka. Stoga četveroznamenkastih babilonskih brojeva ima $10$.

Konačno, babilonskih brojeva manjih od $10\,000$ ima $50$.