6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$, te neka promatrana simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $BC$ u točki $D$. Označimo $\angle BAC=\alpha$, $|AC|=b$. Vrijedi $|BC|=9$.

Vrijedi jedna od mogućnosti $|DC|=4,\ |BD|=5$ ili $|DC|=5,\ |BD|=4$, pa označimo $|DC|=w$ (vrijedi $w=4$ ili $w=5$).

Iz pravokutnog trokuta $ABC$ dobivamo

$$\tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac9b,$$

a iz pravokutnog trokuta $ACD$

$$\tg\frac\alpha2=\frac{|DC|}{|AC|}=\frac wb.$$

Kako je

$$\tg\alpha=\tg\left(2\cdot\frac\alpha2\right) =\frac{2\tg\frac\alpha2}{1-\tg^2\frac\alpha2},$$

slijedi redom

$$\frac9b=\frac{2\cdot\frac wb}{1-\left(\frac wb\right)^2},$$ $$1-\frac{w^2}{b^2}=\frac{2w}{9},\qquad b^2=\frac{w^2}{1-\frac{2w}{9}}.$$

Za $w=5$ jednadžba nema rješenja, a za $w=4$ dobivamo $b=12$.

Sada je

$$P(ABC)=\frac12\cdot|AC|\cdot|BC|=\frac12\cdot9\cdot12=54.$$

Drugo rješenje.

Koristimo iste oznake kao u prvom rješenju. Prema teoremu o simetrali kuta vrijedi

$$|AB|:|AC|=|BD|:|CD|.$$

Kako je $|AB|>|AC|$, mora biti $|DC|=4,\ |BD|=5$.

Sada iz

$$|AB|:|AC|=|BD|:|CD|=5:4$$

zaključujemo da postoji $x$ takav da je $|AB|=5x$ i $|AC|=4x$.

Iz Pitagorinog poučka slijedi $|AB|^2-|AC|^2=|BC|^2$. Vrijedi i $|BC|=9$, pa dobivamo

$$(5x)^2-(4x)^2=9^2.$$

Rješenje te jednadžbe je $x=3$. Sada je $|AC|=12$ (i $|AB|=15$), pa je

$$P(ABC)=\frac12\cdot|AC|\cdot|BC|=\frac12\cdot9\cdot12=54.$$

Treće rješenje.

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$, te neka promatrana simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $BC$ u točki $D$. Neka je $E$ nožište okomice iz točke $D$ na stranicu $AB$.

Trokuti $ACD$ i $AED$ su sukladni jer imaju zajedničku stranicu $AD$ i dva sukladna odgovarajuća kuta, $\angle ACD=\angle AED=90^\circ$ i $\angle CAD=\angle EAD$ (jer je $AD$ simetrala kuta).

Zato je $|AE|=|AC|$ i $|DE|=|CD|$. Iz pravokutnog trokuta $BDE$ vidimo da je $|BD|>|DE|$, pa je $|BD|=5$ i $|CD|=|DE|=4$, i prema Pitagorinom poučku $|BE|=3$.

Označimo $|AC|=b$. Primijenimo Pitagorin poučak i na trokut $ABC$:

$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2,$$ $$b^2+9^2=(b+3)^2.$$

Slijedi $b=12$. Sada možemo izračunati

$$P(ABC)=\frac12\cdot9\cdot12=54.$$