1. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz $\log_a x=3$ slijedi $x=a^3$, a iz $\log_{ab}x=2$ slijedi $x=(ab)^2$.

Sada imamo $a^3=a^2b^2$ pa, kako $a\ne0$, vrijedi $a=b^2$.

Stoga je $x=(b^2)^3=b^6$, pa je

$$\log_bx=\log_b b^6=6.$$

Drugo rješenje.

Očito $x\ne1$, pa iz $\log_a x=3$ slijedi $\log_xa=\dfrac13$, a iz $\log_{ab}x=2$ slijedi $\log_xab=\dfrac12$.

Kako je $\log_xab=\log_xa+\log_xb$, slijedi

$$\frac13+\log_xb=\frac12,$$

pa je $\log_xb=\dfrac16$ i konačno $\log_bx=6$.

Treće rješenje.

Kako je $x\ne1$ i $b\ne1$, vrijedi

$$\log_bx=\frac1{\log_xb} =\frac1{\log_x(ab/a)} =\frac1{\log_xab-\log_xa} =\frac1{\frac1{\log_{ab}x}-\frac1{\log_ax}} =\frac1{\frac12-\frac13}=6.$$