8. Zadatak

Prvo rješenje.

Treba riješiti jednadžbu

$$(a+1)(a^2+1)=2^b \tag{*}$$

u skupu cijelih brojeva.

Lijeva strana jednadžbe (*) je očito cijeli broj pa je $b\ge0$.

Desna strana od (*) je očito pozitivan broj, kao i $a^2+1$, pa mora biti i $a+1>0$. Dakle, $a>-1$, tj. $a\ge0$.

Uvrstimo li $a=0$, dobivamo $1=2^b$ pa je $(a,b)=(0,0)$ jedno rješenje jednadžbe (*).

Uvrstimo li $a=1$, dobivamo $4=2^b$ pa je $(a,b)=(1,2)$ također rješenje.

Za $a>1$ vrijedi $a\ge2$ i $a^2+1\ge5$, a kako $a^2+1$ mora biti potencija broja $2$, očito $4\mid a^2+1$. No, to bi značilo da $a^2$ daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$, a to je nemoguće. (Kvadrati cijelih brojeva pri dijeljenju s $4$ daju ostatak $0$ ili $1$.)

Dakle, jedina rješenja zadatka su $a=0$ i $a=1$.

Drugo rješenje.

Treba riješiti jednadžbu

$$(a+1)(a^2+1)=2^b$$

u skupu cijelih brojeva.

Iz $(a+1)(a^2+1)=2^b$ zaključujemo da su $a+1$ i $a^2+1$ potencije broja $2$.

Kako je $a\le a^2$ za sve cijele brojeve $a$, odnosno $a+1\le a^2+1$, mora vrijediti $a+1\mid a^2+1$.

No,

$$a^2+1=(a+1)(a-1)+2,$$

pa zaključujemo da $(a+1)$ dijeli broj $2$.

Kako je $a+1$ pozitivno, jedine mogućnosti su $a+1=1$ i $a+1=2$, pa su konačna rješenja $a=0$ i $a=1$.

Treće rješenje.

Treba riješiti jednadžbu

$$(a+1)(a^2+1)=2^b$$

u skupu cijelih brojeva.

Vidimo da $(a+1)$ i $(a^2+1)$ moraju biti potencije broja $2$. Neka je

$$a+1=2^m\qquad\text{i}\qquad a^2+1=2^n,$$

tj. $a=2^m-1$, $a^2=2^n-1$.

Mora vrijediti

$$(2^m-1)^2=2^n-1,$$

tj.

$$2^{2m}-2^{m+1}-2^n+2=0. \tag{**}$$

Za $m=0$ dobivamo $n=0$, pa je $a=0$ rješenje.

Za $m>0$ jednakost (**) možemo podijeliti s $2$:

$$2^{2m-1}-2^m-2^{n-1}+1=0.$$

Prva dva pribrojnika su parna pa mora biti $2^{n-1}=1$, tj. $n=1$. Slijedi $m=1$, $a=1$.