3. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da su trokuti $ACD$ i $BCE$ slični (dva kuta).

Zato je

$$|AC|:|CD|=|BC|:|CE|. \tag{*}$$

Označimo $|BD|=x$. Sada (*) možemo zapisati u obliku

$$\frac{5+3}{2}=\frac{x+2}{3},$$

odakle slijedi $x+2=3\cdot\dfrac82=12$, pa je tražena duljina $|BD|=x=10$.

Drugo rješenje.

Označimo $|BD|=x$.

Primijenimo Pitagorin poučak:

$$\begin{aligned} \text{na trokut }ADC:\quad &|AD|^2=|AC|^2-|CD|^2=8^2-2^2=60,\\ \text{na trokut }BCE:\quad &|BE|^2=|BC|^2-|CE|^2=(x+2)^2-9,\\ \text{na trokut }ABD:\quad &|AB|^2=|BD|^2+|AD|^2=x^2+60,\\ \text{na trokut }ABE:\quad &|AB|^2=|BE|^2+|AE|^2=((x+2)^2-9)+25. \end{aligned}$$

Izjednačavanjem dobivenih vrijednosti za $|AB|^2$ dobivamo

$$((x+2)^2-9)+25=x^2+60,$$ $$x^2+4x+4-9+25=x^2+60,\qquad 4x=40,$$

te konačno $|BD|=x=10$.

Treće rješenje.

Označimo $|BD|=x$. Vrijedi $|AC|=8$ i $|BC|=x+2$.

Kao u prvom rješenju, primijenimo Pitagorin poučak:

$$|AD|^2=|AC|^2-|CD|^2=8^2-2^2=60,$$ $$|BE|^2=|BC|^2-|CE|^2=(x+2)^2-9.$$

Sada uočimo da površinu danog trokuta možemo izraziti na dva načina:

$$P(ABC)=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2},\qquad P(ABC)=\frac{|CA|\cdot|BE|}{2}.$$

Stoga vrijedi $|BC|\cdot|AD|=|CA|\cdot|BE|$, odnosno

$$|BC|^2\cdot|AD|^2=|CA|^2\cdot|BE|^2.$$

Uvrštavanjem dobivamo

$$(x+2)^2\cdot60=(5+3)^2\cdot\bigl((x+2)^2-9\bigr),$$

odakle slijedi

$$60(x^2+4x+4)=64(x^2+4x-5),$$ $$560=4(x^2+4x),\qquad x^2+4x=140,$$

pa je jedino pozitivno rješenje $x=10$.