2. Zadatak

Prvo rješenje.

Tvrdimo da je taj omjer $100$. Npr. za broj $300$ vrijedi

$$\frac{300}{3+0+0}=100.$$

(Naravno, isto vrijedi za sve brojeve oblika $\overline{a00}$.)

Za troznamenkasti broj $\overline{abc}$ promatrani omjer iznosi

$$\frac{100a+10b+c}{a+b+c}.$$

Sada treba dokazati da taj omjer ne može biti veći od $100$. Očito je

$$\frac{100a+10b+c}{a+b+c} \le\frac{100a+100b+100c}{a+b+c}=100,$$

tj. promatrani omjer ne može biti veći od $100$.

Drugo rješenje.

Promatrani omjer $\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}$ možemo zapisati u obliku

$$1+\frac{99a+9b}{a+b+c}.$$

Da bi taj izraz bio maksimalan, jasno je da mora biti $c=0$. Tada je nadalje

$$1+\frac{99a+9b}{a+b+c} =1+\frac{99a+9b}{a+b} =1+9+\frac{90a}{a+b}.$$

Da bi taj izraz bio maksimalan, očito mora biti $b=0$. Zato se maksimalna vrijednost izraza postiže za brojeve $\overline{a00}$ i iznosi $100$.