1. Zadatak

Vrijedi

$$\frac{1}{\log_a10}+\frac{1}{\log_b10}=\log a+\log b=\log ab,$$

pa je broj $\frac{1}{\log_a10}+\frac{1}{\log_b10}$ prirodan ako i samo ako je $ab$ potencija broja $10$.

Budući da je $1<a,b\le10^2$, slijedi da je $ab\in\{10,10^2,10^3,10^4\}$.

Ispišimo parove $(a,b)$ takve da je $ab=10^n$ redom za $n=1,2,3,4$.

Ako je $n=1$, onda imamo dva takva para $(2,5)$ i $(5,2)$.

Ako je $n=2$, onda imamo sedam parova:

$$(2,50),\ (4,25),\ (5,20),\ (10,10),\ (20,5),\ (25,4),\ (50,2).$$

Ako je $n=3$, onda imamo šest parova:

$$(10,100),\ (20,50),\ (25,40),\ (40,25),\ (50,20),\ (100,10).$$

Konačno, ako je $n=4$, onda imamo samo jedan par $(100,100)$.