4. Zadatak

Neka je $P'$ projekcija točke $P$ na ravninu $ABCD$. Tada je $PP'$ visina piramide $ABCDP$.

Trokut $AP'P$ je sličan trokutu $ACC'$ i vrijedi

$$|P'P|:|CC'|=|AP|:|AC'|.$$

Trokut $ABC'$ je pravokutan. Duljine kateta tog trokuta su $|AB|=a$ i $|BC'|=a\sqrt2$, a duljina hipotenuze je $|AC'|=a\sqrt3$.

Dužina $BP$ je visina na hipotenuzu. Izražavanjem površine trokuta $ABC'$ na dva načina dobivamo

$$\frac{a\cdot a\sqrt2}{2}=\frac{a\sqrt3\cdot|BP|}{2},$$

pa slijedi da je $|BP|=a\sqrt{\frac23}$.

Trokut $ABP$ je pravokutan, pa primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$|AP|^2=a^2-a^2\frac23=\frac{a^2}{3},$$

odnosno $|AP|=\frac{a\sqrt3}{3}$.

Dakle, vrijedi $|AP|:|AC'|=\frac13$. Stoga je $|PP'|=\frac a3$.

Baza piramide $ABCDP$ je kvadrat stranice duljine $a$, pa je traženi volumen jednak

$$\frac13\cdot a^2\cdot\frac a3=\frac{a^3}{9}.$$

Napomena: Prema Euklidovom teoremu, u pravokutnom trokutu $ABC'$ vrijedi $|AP|\cdot|AC'|=|AB|^2$. Slijedi da je

$$|AP|=\frac{a^2}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt3}{3}.$$