7. Zadatak

Da bi $n^n-3$ bio djeljiv s $10$, zadnja znamenka mu mora biti $0$.

Ako je zadnja znamenka broja $n$ parna ($n$ je paran), onda je zadnja znamenka broja $n^n-3$ neparna, pa sigurno nije nula.

Ako je zadnja znamenka $n$ jednaka $1$, onda isto vrijedi i za $n^n$, pa je zadnja znamenka $n^n-3$ jednaka $8$, a ne $0$.

Ako je zadnja znamenka $n$ jednaka $5$ (broj je djeljiv s $5$), onda isto vrijedi i za $n^n$, pa je zadnja znamenka $n^n-3$ jednaka $2$, a ne $0$.

Ako je zadnja znamenka $n$ jednaka $9$, onda je zadnja znamenka potencije od $n$ jednaka $9$ ili $1$, pa je zadnja znamenka od $n^n-3$ jednaka $6$ ili $8$, a ne $0$.

Kao moguća rješenja, preostaju brojevi koji završavaju s $3$ ili $7$, odnosno brojevi oblika $10k+3$ i $10k+7$.

Za $n=10k+3$, promotrimo koje se zadnje znamenke pojavljuju kod potencija od takvih $n$. Ostaci koje $3^a$ daje pri dijeljenju s $10$ su redom $3,9,7,1,3,9,7,1,\ldots$. Primijetimo da su ti ostaci periodični, pa slijedi da eksponent $n$ mora biti oblika $4l+1$. Iz toga dobivamo da je $n$ oblika $20m+13$.

Analogno, potencije od $n=10k+7$ pri dijeljenju s $10$ daju ostatke $7,9,3,1,\ldots$, pa je $n$ oblika $4l+3$. Iz toga dobivamo rješenja $n=20m+7$.

Rješenja su brojevi $n=20m+7$ i $n=20m+13$ za $m\in\mathbb N_0$, tj. svi prirodni brojevi koji pri dijeljenju s $20$ daju ostatak $7$ ili $13$.