6. Zadatak

Prvo rješenje:

Zamjenom $\sin^2x$ s lijeve strane s $1-\cos^2x$, dobivamo ekvivalentnu nejednakost:

$$1-\cos^2x+a\cos x+a^2\ge1+\cos x,$$

odnosno

$$0\ge\cos^2x+(1-a)\cos x-a^2.$$

Primijetimo da je desna strana kvadratna funkcija u $\cos x$ pa uvedimo supstituciju $t=\cos x$. Pri tome je $t\in[-1,1]$.

Zadnja dobivena nejednakost znači da graf kvadratne funkcije $f(t)=t^2+(1-a)t-a^2$ leži ispod $x$-osi za $t\in[-1,1]$.

Da bi graf na tom intervalu ležao ispod $x$-osi, nužno je i dovoljno da je $f(-1)\le0$ i $f(1)\le0$.

Budući da je $f(-1)=1-1+a-a^2=a(1-a)$, iz uvjeta $f(-1)\le0$ slijedi da je $a\in(-\infty,0]\cup[1,\infty)$.

Slično, iz $f(1)=2-a-a^2\le0$ dobivamo da je $a\in(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$.

Presjekom dobivenih skupova zaključujemo da je rješenje

$$a\in(-\infty,-2]\cup[1,\infty).$$

Drugo rješenje:

Uvrštavanjem $x=0$ dobivamo da mora vrijediti $a+a^2\ge2$, odnosno $a^2+a-2\ge0$, što je ekvivalentno $(a+2)(a-1)\ge0$. Iz toga slijedi da je $a\in(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$.

Dokažimo sad da za takve $a$ nejednakost zbilja vrijedi za sve realne $x$. Nejednakost je ekvivalentna sljedećima:

$$a\cos x-\cos x+a^2-1+\sin^2x\ge0,$$ $$(a-1)\cos x+(a-1)(a+1)+\sin^2x\ge0,$$ $$(a-1)(a+1+\cos x)+\sin^2x\ge0.$$

Umnožak s lijeve strane je nenegativan za $a\ge1$ jer su oba faktora nenegativna (tj. vrijedi $a-1\ge0$ te $a+1+\cos x\ge1+1+(-1)=1>0$).

Za $a\le-2$ je prvi faktor $a-1$ očito negativan, a drugi $a+1+\cos x\le-2+1+1=0$, pa su oba faktora negativna ili nula, što znači da im je produkt nenegativan.

U oba slučaja nejednakost vrijedi jer je i $\sin^2x$ nenegativan.

Rješenje je

$$a\in(-\infty,-2]\cup[1,\infty).$$