2. Zadatak

Prvo rješenje:

Označimo $x=|AT|=|TE|=|EA|$.

Budući da težište dijeli težišnicu u omjeru $2:1$, slijedi da je $|BT|=2x$.

Poučak o kosinusu na trokutu $ABE$ daje

$$|AB|^2=(3x)^2+x^2-2\cdot3x\cdot x\cos60^\circ=7x^2,$$

iz čega slijedi da je $|AB|=x\sqrt7$.

Konačno, poučak o kosinusu na trokutu $ABT$ daje

$$\cos\angle DAB=\frac{x^2+7x^2-4x^2}{2x^2\sqrt7},$$

tj.

$$\cos\angle DAB=\frac{2\sqrt7}{7}.$$

Drugo rješenje:

Označimo $x=|AT|=|TE|=|EA|$.

Budući da težište dijeli težišnicu u omjeru $2:1$, slijedi da je $|BT|=2x$.

Neka je $\varphi=\angle BAT$. Tada je $\angle ABT=60^\circ-\varphi$. Prema poučku o sinusima na trokutu $ABT$ slijedi

$$\frac{\sin(60^\circ-\varphi)}{\sin\varphi}=\frac{|AT|}{|BT|}=\frac12.$$

Koristeći adicijsku formulu dobivamo

$$\frac12=\frac{\sin(60^\circ-\varphi)}{\sin\varphi}=\frac{\sin60^\circ\cdot\cos\varphi-\cos60^\circ\cdot\sin\varphi}{\sin\varphi}.$$

Dakle,

$$\frac12=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}-\frac12,$$

tj. $\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\frac{2}{\sqrt3}$.

Kako bismo dobili $\cos\varphi$, kvadrirajmo dobiveni izraz i uvrstimo $\sin^2\varphi=1-\cos^2\varphi$:

$$\frac43=\frac{\cos^2\varphi}{\sin^2\varphi}=\frac{\cos^2\varphi}{1-\cos^2\varphi}.$$

Odavde slijedi $\cos^2\varphi=\frac47$, pa je $\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt7}$ (predznak je $+$ jer je kut $\varphi$ šiljast).