3. Zadatak

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom po $n$. Za $n=0$ vrijedi

$$a_0\cdot\frac1{a_0}=1.$$

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki cijeli broj $n\ge0$. Tada je

$$\begin{aligned} a_0\cdots a_{n+1}\left(\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_{n+1}}\right) &=a_{n+1}\cdot a_0\cdots a_n\left(\frac1{a_0}+\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}\right)+a_0\cdots a_n\\ &=a_{n+1}+a_0a_1\cdots a_n, \end{aligned}$$

prema pretpostavci indukcije.

Možemo uočiti da će korak indukcije biti proveden ako dokažemo sljedeću pomoćnu tvrdnju: za svaki prirodni broj $n$ vrijedi

$$a_n=1-a_0a_1\cdots a_{n-1}.$$

Pomoćnu tvrdnju također dokazujemo matematičkom indukcijom po $n$. Za $n=1$ vrijedi $a_1=1-a_0$ prema definiciji. Pretpostavimo da pomoćna tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$. Tada je

$$a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)=1-a_n\cdot a_0a_1\cdots a_{n-1}=1-a_0a_1\cdots a_n.$$

Prema principu matematičke indukcije slijedi pomoćna tvrdnja. Time smo završili korak indukcije u dokazivanju tvrdnje zadatka. Dakle, prema principu matematičke indukcije vrijedi tvrdnja zadatka.