2. Zadatak

Uočimo da je izraz $a^2+3b^2-4ab$ paran ako i samo ako su $a$ i $b$ iste parnosti. Ako su $a$ i $b$ oba parni, onda su $a^2$ i $b^2$ djeljivi s $4$ i izraz $a^2+3b^2-4ab$ je djeljiv s $4$. Ako su $a$ i $b$ oba neparni, onda $a^2$ i $b^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$ i izraz $a^2+3b^2-4ab$ je djeljiv s $4$. To pokazuje da se parni brojevi koji nisu djeljivi s $4$ ne mogu prikazati u traženom obliku. Takvih brojeva ima $250\,000$.

Koristeći faktorizaciju

$$a^2+3b^2-4ab=(a-3b)(a-b)$$

dokazujemo da se brojevi $1$ i $4$ ne mogu prikazati u traženom obliku.

Ako je $(a-3b)(a-b)=1$, onda je $a-3b=a-b=\pm1$, tj. $b=0$, što nije moguće.

Ako je $(a-3b)(a-b)=4$, onda je $a-3b=a-b=\pm2$, tj. $b=0$, ili je $a-3b=\pm1$ i $a-b=\pm4$, tj. $2b=\pm3$, ili je $a-3b=\pm4$ i $a-b=\pm1$, tj. $2b=\mp3$. Nijedan od tih slučajeva nije moguć.

Svi ostali prirodni brojevi $c\le1\,000\,000$ mogu se prikazati u traženom obliku. Naime, ako je $c=2k+1$, $k\ge1$, onda za $a=3k+1$, $b=k$ dobivamo

$$a^2+3b^2-4ab=(a-3b)(a-b)=(3k+1-3k)(3k+1-k)=2k+1.$$

Ako je $c=4k$, $k>1$, onda za $a=3k-1$, $b=k-1$ dobivamo

$$a^2+3b^2-4ab=(a-3b)(a-b)=(3k-1-3k+3)(3k-1-k+1)=4k.$$

Ukupan broj brojeva koji se mogu prikazati u traženom obliku je

$$1\,000\,000-250\,000-2=749\,998.$$