3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $n=a_{m-1}a_{m-2}\ldots a_1a_0$. Vrijedi $a_0>a_1>\ldots>a_{m-1}$. Sada je

$$\begin{aligned} 9n&=(10-1)(10^{m-1}a_{m-1}+10^{m-2}a_{m-2}+\ldots+10a_1+a_0)\\ &=(10-1)10^{m-1}a_{m-1}+(10-1)10^{m-2}a_{m-2}+\ldots+(10-1)10a_1+(10-1)a_0\\ &=10^ma_{m-1}+10^{m-1}a_{m-2}+\ldots+10^2a_1+10a_0\\ &\qquad-10^{m-1}a_{m-1}-10^{m-2}a_{m-2}-\ldots-10a_1-a_0\\ &=10^ma_{m-1}+10^{m-1}(a_{m-2}-a_{m-1})+\ldots+10^2(a_1-a_2)\\ &\qquad+10(a_0-a_1)-a_0\\ &=10^ma_{m-1}+10^{m-1}(a_{m-2}-a_{m-1})+\ldots+10^2(a_1-a_2)\\ &\qquad+10(a_0-a_1-1)+(10-a_0). \end{aligned}$$

Kako je

$$0\le a_{m-1},(a_{m-2}-a_{m-1}),\ldots,(a_1-a_2),(a_0-a_1-1),(10-a_0)\le9,$$

to su ti brojevi znamenke broja $9n$, a njihov zbroj je

$$a_{m-1}+(a_{m-2}-a_{m-1})+\ldots+(a_1-a_2)+(a_0-a_1-1)+(10-a_0)=9.$$

Drugo rješenje.

Neka je $n=a_{m-1}a_{m-2}\ldots a_1a_0$. Vrijedi $a_0>a_1>\ldots>a_{m-1}$.

Oduzimanje $10n-n=9n$ možemo zapisati ovako:

$$\begin{array}{r} a_{m-1}\ a_{m-2}\ a_{m-3}\ \ldots\ a_1\ a_0\ 0\\ -\quad a_{m-1}\ a_{m-2}\ \ldots\ a_2\ a_1\ a_0\\ \hline \phantom{-}b_m\ b_{m-1}\ b_{m-2}\ \ldots\ b_2\ b_1\ b_0 \end{array}$$

Vrijedi redom $b_0=10-a_0$, $b_1=a_0-(a_1+1)$, $b_2=a_1-a_2$, $b_3=a_2-a_3$, $\ldots$, $b_{m-1}=a_{m-2}-a_{m-1}$, $b_m=a_{m-1}$. Ti brojevi su znamenke broja $9n$, a njihov zbroj je

$$a_{m-1}+(a_{m-2}-a_{m-1})+\ldots+(a_1-a_2)+(a_0-a_1-1)+(10-a_0)=9.$$