2. Zadatak

Prvo rješenje.

Transformirajmo desnu stranu nejednakosti:

$$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2+2(a-b+1) &=a^2+2a+1+b^2-2b+1+c^2\\ &=(a+1)^2+(b-1)^2+c^2. \end{aligned}$$

Koristeći nejednakost između kvadratne i aritmetičke sredine, dobivamo

$$\sqrt{\frac{(a+1)^2+(b-1)^2+c^2}{3}} \ge\frac{|(a+1)+(b-1)+c|}{3}$$

odnosno

$$(a+1)^2+(b-1)^2+c^2\ge\frac{1}{3}(a+b+c)^2.$$

Drugo rješenje.

Dana nejednakost ekvivalentna je s

$$3\bigl(a^2+b^2+c^2+2(a-b+1)\bigr)-(a+b+c)^2\ge0.$$

Vrijedi

$$\begin{aligned} 3\bigl(a^2+b^2+c^2+2(a-b+1)\bigr)-(a+b+c)^2 &=3\bigl(a^2+b^2+c^2+2a-2b+2\bigr) -\bigl(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\bigr)\\ &=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca+6a-6b+6\\ &=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca+6a-6b+6\\ &=a^2+b^2-2ab+4a-4b+b^2+c^2-2bc-2b+2c\\ &\qquad+c^2+a^2-2ca-2c+2a+6\\ &=a^2+b^2-2ab+4a-4b+4+b^2+c^2-2bc-2b+2c+1\\ &\qquad+c^2+a^2-2ca-2c+2a+1\\ &=(a-b+2)^2+(b-c-1)^2+(c-a-1)^2. \end{aligned}$$

Ova suma je očito nenegativna, čime je nejednakost dokazana.