5. Zadatak

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ zamišljeni brojevi. Uzmimo, bez smanjenja općenitosti, da je obrisani zbroj $c+d$. Tada su na ploči napisani brojevi $a+b$, $a+c$, $a+d$, $b+c$ i $b+d$, tj.

$$\{-2,1,2,3,6\}=\{a+b,a+c,a+d,b+c,b+d\}.$$

Kako je

$$(a+c)+(b+d)=(a+d)+(b+c),$$

među brojevima na ploči možemo odabrati dva para brojeva s jednakim zbrojem. Provjerom

$$\begin{aligned} -2+1&=-1,& -2+2&=0,& -2+3&=1,& -2+6&=4,& 1+2&=3,\\ 1+3&=4,&1+6&=7,&2+3&=5,&2+6&=8,&3+6&=9 \end{aligned}$$

utvrđujemo da vrijedi $-2+6=1+3=4$.

Zaključujemo da je zbroj svih brojeva koje je Azra zamislila jednak $4$.

Od brojeva na ploči, broj $2$ ne pojavljuje se u prethodnoj jednakosti (pa je $a+b=2$) i stoga je obrisani broj $c+d$ jednak $4-2=2$.

Promijenimo sada oznake. Neka su zamišljeni brojevi $a$, $b$, $c$, $d$, ali tako da je $a\le b\le c\le d$.

Znamo da je

$$\{-2,1,2,2,3,6\}=\{a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d\}.$$

Zbog $a\le b\le c\le d$ očito je $a+b$ najmanji zbroj, a $c+d$ najveći, dakle $a+b=-2$, $c+d=6$.

Sada lagano zaključujemo da je $a+c$ manje od svih zbrojeva osim $a+b$, i analogno $b+d$ je veće od svih zbrojeva osim od $c+d$. To znači da je $a+c=1$ i $b+d=3$.

Konačno, $a+d=b+c=2$.

Vrijedi

$$2a=(a+b)+(a+c)-(b+c)=-2+1-2=-3,$$

odnosno $a=-\frac32$. Dalje je

$$b=-2-a=-\frac12,\qquad c=1-a=\frac52,\qquad d=2-a=\frac72.$$

Provjerimo još da su i ostale jednakosti ispunjene:

$$b+c=-\frac12+\frac52=2,\qquad b+d=-\frac12+\frac72=3,\qquad c+d=\frac52+\frac72=6.$$

Azra je zamislila brojeve $-\frac32$, $-\frac12$, $\frac52$ i $\frac72$.