2. Zadatak

Prvo rješenje.

Prebacivanjem $a^2$ na desnu stranu dobivamo ekvivalentnu jednakost $p^2=b^2-a^2$. Desnu stranu faktoriziramo kao razliku kvadrata:

$$p^2=(b-a)(b+a).$$

Budući da su $a$ i $b$ prirodni, brojevi $b-a$ i $b+a$ su različiti prirodni djelitelji broja $p^2$, koji ima samo tri djelitelja: $1$, $p$ i $p^2$. Stoga je

$$b-a=1\quad\text{i}\quad b+a=p^2.$$

Zbrajanjem dobivenih jednadžbi dobivamo $2b=1+p^2$. Slijedi da je

$$2(b+p)=2b+2p=p^2+2p+1=(p+1)^2,$$

pa je $2(b+p)$ zaista kvadrat prirodnog broja $p+1$.

Drugo rješenje.

Ako je $p=2$, onda je $a^2+4=b^2$. Kvadrati $1^2$ i $2^2$ se razlikuju za $3$, a razlika između bilo koja druga dva kvadrata iznosi barem $5$, pa je nemoguće da je $p=2$. Dakle, možemo pretpostaviti da je $p$ neparan prost broj.

Brojevi $a$, $p$ i $b$ čine Pitagorinu trojku, pa postoje prirodni brojevi $d$, $m$ i $n$ takvi da je

$$a=2mnd,\qquad p=d(m^2-n^2),\qquad b=d(m^2+n^2).$$

Budući da je $p$ prost broj, mora vrijediti $d=1$. Zbrajanjem dobivamo

$$2(b+p)=2(m^2-n^2+m^2+n^2)=4m^2,$$

što je potpun kvadrat.

Treće rješenje.

Pokažimo da brojevi $b$ i $p$ oba moraju biti neparni. Ako je $p=2$, onda je $a^2+4=b^2$. Kvadrati $1^2$ i $2^2$ se razlikuju za $3$, a razlika između bilo koja druga dva kvadrata iznosi barem $5$, pa je nemoguće da je $p=2$. Dakle, možemo pretpostaviti da je $p$ neparan prost broj.

Ako je $b$ paran broj, onda bi $a$ morao biti neparan broj, pa bi broj $a^2+p^2$ davao ostatak $2$, dok bi $b^2$ davao ostatak $0$ pri dijeljenju sa $4$. Zato je $b$ neparan broj.

Prebacivanjem $p^2$ na desnu stranu dobivamo ekvivalentnu jednakost $a^2=b^2-p^2$. Desnu stranu faktoriziramo kao razliku kvadrata:

$$a^2=(b-p)(b+p).$$

Rješenje baziramo na sljedećoj činjenici: ako su $x$ i $y$ relativno prosti brojevi za koje je $xy$ potpun kvadrat, onda su $x$ i $y$ također potpuni kvadrati. Ideja je pokazati da je $M(b-p,b+p)=2$ jer iz toga slijedi da je

$$b-p=2x,\qquad b+p=2y$$

i

$$xy=\frac{a^2}{4}=\left(\frac a2\right)^2,$$

te su $x$ i $y$ relativno prosti brojevi. Prethodno navedena činjenica tada povlači da je $y$ potpun kvadrat, pa je zato i $2(b+p)=4y$ potpun kvadrat.

Vrijedi

$$M(b-p,b+p)=M(2p,b+p).$$

Budući da je $b+p$ paran broj, da bismo pokazali da je $M(b-p,b+p)=2$, dovoljno je pokazati da $p$ ne dijeli $b$. Ako $p$ dijeli $b$, onda $p$ dijeli $a$ i možemo pisati $a=pk$, $b=pl$ i $k^2+1=l^2$. Budući da se nikoja dva kvadrata ne razlikuju za $1$, dobivamo kontradikciju. Time je dokaz završen.