3. Zadatak

Neka je $\overline{abcdef}$ šesteroznamenkasti broj. Brojevi $\overline{abcd}$ i $\overline{cdef}$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $99$ ako i samo ako $99$ dijeli broj $\overline{abcd}-\overline{cdef}$.

Budući da je

$$\begin{aligned} \overline{abcd}-\overline{cdef} &=100\overline{ab}+\overline{cd}-(100\overline{cd}+\overline{ef})\\ &=100\overline{ab}-99\overline{cd}-\overline{ef}\\ &=99\overline{ab}+\overline{ab}-99\overline{cd}-\overline{ef}\\ &=99(\overline{ab}-\overline{cd})+\overline{ab}-\overline{ef}, \end{aligned}$$

broj $\overline{abcdef}$ zadovoljava zadani uvjet ako i samo ako $99$ dijeli $\overline{ab}-\overline{ef}$.

Brojevi $\overline{ab}$ i $\overline{ef}$ su između $0$ i $99$, pa je njihova razlika djeljiva sa $99$ samo ako je po iznosu jednaka $0$ ili $99$.

Ako je razlika $0$, onda su brojevi $\overline{ab}$ i $\overline{ef}$ jednaki. U ovom slučaju $\overline{ab}$ možemo izabrati na $90$ načina, kao bilo koji broj između $10$ i $99$.

Razlika može biti $99$ samo ako je $\overline{ab}=99$ i $\overline{ef}=00$. Zato $\overline{ab}$ i $\overline{ef}$ možemo odabrati na ukupno $90+1=91$ način.

Sad još preostaje prebrojati moguće središnje dijelove $\overline{cd}$ broja $\overline{abcdef}$. Budući da je $\overline{cdef}$ četveroznamenkast broj, broj $\overline{cd}$ može biti bilo koji između $10$ i $99$, što daje $90$ načina.

Ukupno, traženih brojeva ima

$$91\cdot90=8190.$$