5. Zadatak

Zbroj svih brojeva u čarobnoj tablici je

$$3\cdot(1+2+\cdots+n)=3\cdot\frac{n(n+1)}2.$$

Budući da je u svakom od $n$ stupaca zbroj jednak, taj zbroj iznosi

$$3\cdot\frac{n+1}{2}.$$

Taj zbroj mora biti cijeli broj, pa je $n+1$ paran, odnosno $n$ mora biti neparan.

Zapišimo $n=2m+1$. Zbroj u svakom stupcu mora biti jednak

$$3\cdot\frac{n+1}{2}=3m+3.$$

Budući da je najveći broj koji se upisuje $2m+1$, zbroj $1+k$ mora iznositi barem $3m+3-(2m+1)=m+2$, odnosno vrijedi $k\ge m+1$.

Analogno, u zadnjem stupcu $(2m+1)+(k-1)$ je najviše $3m+2$, odnosno $k\le m+2$. Slijedi da je $m+1\le k\le m+2$, tj. $k=m+1$ ili $k=m+2$.

Ako je $k=m+1$, zbrojevi elemenata u prva dva retka su uzastopni prirodni brojevi (redom $m+2,m+4,\ldots,3m,3m+2,m+3,m+5,\ldots,3m-1,3m+1$, tj. svi od $m+2$ do $3m+2$), pa je očigledno moguće popuniti treći redak tako da tablica bude čarobna.

Isti argument vrijedi za $k=m+2$ jer su zbrojevi elemenata u prva dva retka uzastopni prirodni brojevi (također svi od $m+2$ do $3m+2$).

Čarobna tablica postoji ako i samo ako je $n$ neparan i za svaki neparan prirodni broj $n$ postoje dvije čarobne tablice.

Umjesto korištenja zaključka da su zbrojevi u prva dva reda uzastopni prirodni brojevi, za $k=m+1$ i $k=m+2$ čarobne tablice mogu se konstruirati ovako:

$1$	$2$	$\cdots$	$m$	$m+1$	$m+2$	$\cdots$	$2m$	$2m+1$
$m+1$	$m+2$	$\cdots$	$2m$	$2m+1$	$1$	$\cdots$	$m-1$	$m$
$2m+1$	$2m-1$	$\cdots$	$3$	$1$	$2m$	$\cdots$	$4$	$2$

$1$	$2$	$\cdots$	$m$	$m+1$	$m+2$	$\cdots$	$2m$	$2m+1$
$m+2$	$m+3$	$\cdots$	$2m+1$	$1$	$2$	$\cdots$	$m$	$m+1$
$2m$	$2m-2$	$\cdots$	$2$	$2m+1$	$2m-1$	$\cdots$	$3$	$1$

Ako je $n=2m$ paran, zbrojevi u prva dva retka iznose

$$1+k,\ 2+(k+1),\ \ldots,\ (2m-k+1)+2m, \quad (2m-k+2)+1,\ \ldots,\ 2m+(k-1),$$

tj. $k+1,k+3,\ldots,4m-k+1,2m-k+3,\ldots,2m+k-1$. Svi ti zbrojevi su iste parnosti, a dodavanjem brojeva od $1$ do $2m$ ne mogu ostati iste parnosti, pa ne mogu svi biti jednaki.