4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $S$ središte kružnice $k_2$ i neka je $|BS|=|ES|=r$ polumjer te kružnice.

Budući da je točka $S$ polovište dužine $BD$, koja je polumjer kružnice $k_1$, slijedi da je $|AB|=|BD|=2r$. Vrijedi $|AE|=|AB|=2r$ jer su to odsječci tangenti.

Budući da je tangenta $AB$ na kružnicu $k_2$ okomita na polumjer $SB$, trokut $ABF$ je pravokutan. Analogno, budući da je tangenta $AE$ na kružnicu $k_2$ okomita na polumjer $SE$ kružnice $k_2$, trokut $SEF$ je pravokutan.

Pravokutni trokuti $ABF$ i $SEF$ imaju iste kutove, pa su slični. Neka je $a=|FS|$. Iz spomenute sličnosti zaključujemo

$$|AF|=|FS|\cdot\frac{|AB|}{|ES|}=2|FS|=2a$$

i zaključujemo

$$2a-2r=|AF|-|AE|=|EF|=\frac12|BF|=\frac12(r+a).$$

Iz toga slijedi da je $3a=5r$, odnosno

$$|AF|:|AB|=2a:2r=5:3.$$

Drugo rješenje.

Neka je $|AB|=R$ polumjer veće kružnice. Neka je $|DF|=x$, $|EF|=y$ i neka je $S$ središte manje kružnice. Tada je $|AE|=|AB|=R$, jer su to odsječci tangenti.

Točka $S$ je polovište promjera $BD$ kružnice $k_2$, pa je

$$|DS|=\frac{|BD|}{2}=\frac R2.$$

Budući da je tangenta $AB$ na kružnicu $k_2$ okomita na polumjer $SB$, trokut $ABF$ je pravokutan. Iz Pitagorinog poučka slijedi

$$(R+x)^2+R^2=(R+y)^2. \tag{*}$$

Analogno, budući da je tangenta $AE$ na kružnicu $k_2$ okomita na polumjer $SE$ kružnice $k_2$, trokut $SEF$ je pravokutan. Ponovno primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$\left(x+\frac R2\right)^2=\left(\frac R2\right)^2+y^2.$$

Oduzimanjem $(*)$ od ove jednakosti dobivamo $R+x=2y$. Uvrštavanjem u $(*)$ dobivamo da je $3y=2R$, tj. $\frac yR=\frac23$, pa je traženi omjer jednak

$$|AF|:|AB|=(R+y):R=1+\frac23=\frac53.$$