1. Zadatak

Prvo rješenje.

Vjerojatnost svakog od događaja (Magdalenina pobjeda, Marijina pobjeda ili neodlučeni ishod) iznosi $\frac13$.

Dvoboj će završiti Marijinom pobjedom u sljedećim slučajevima:

• Marija je pobijedila u sve tri partije;
• Marija je pobijedila u točno dvije partije;
• Marija je pobijedila u jednoj partiji, a ostale dvije su završile neodlučeno.

U prvom slučaju vjerojatnost je $\frac1{3^3}=\frac1{27}$.

U drugom slučaju na tri načina odaberemo partiju u kojoj Marija nije pobijedila, a nakon toga imamo dva izbora za tu partiju, neodlučeno ili Magdalenina pobjeda. Stoga je vjerojatnost u ovom slučaju jednaka $\frac6{27}$.

U trećem slučaju na tri načina odaberemo partiju u kojoj je Marija pobijedila. Stoga je vjerojatnost u ovom slučaju jednaka $\frac3{27}$.

Dakle, ukupna vjerojatnost Marijine pobjede je $\frac1{27}+\frac6{27}+\frac3{27}=\frac{10}{27}$.

Drugo rješenje.

Kako su sve vjerojatnosti jednake $\frac13$, vjerojatnost da pobijedi Marija ($p$) jednaka je vjerojatnosti da pobijedi Magdalena. Te dvije vjerojatnosti zajedno s vjerojatnosti da bude neodlučeno ($q$) daju $1$ pa vrijedi $2p+q=1$.

Odredimo vjerojatnost $q$. Meč će završiti neodlučenim rezultatom ako je neparno mnogo partija završilo neodlučeno, a Marija i Magdalena jednako mnogo puta pobijedile u preostalima.

Prvi slučaj je da su sve tri partije završile neodlučeno i vjerojatnost za to je $\frac1{27}$.

Drugi slučaj je da je jedna partija završila neodlučeno, jedna Marijinom pobjedom i jedna Magdaleninom pobjedom. Na tri načina odaberemo koja je partija završila neodlučeno, nakon toga imamo dva izbora za Marijinu pobjedu. Ukupno je dakle $6$ izbora, pa je vjerojatnost u ovom slučaju jednaka $\frac6{27}$.

Ukupno je zato $q=\frac7{27}$, te konačno $p=\frac{10}{27}$, što je vjerojatnost ukupne Marijine pobjede.