2. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžbi $1+p+p^2+p^3+\cdots+p^n=2801$ oduzmemo $1$ s obje strane. Budući da je

$$p+p^2+p^3+\cdots+p^n=p\cdot\frac{p^n-1}{p-1},$$

dobivamo jednadžbu

$$p\cdot\frac{p^n-1}{p-1}=2800.$$

Uočimo da je lijeva strana djeljiva s $p$ pa je $p$ jedan od prostih djelitelja broja $2800$. Dakle, $p$ mora biti $2$, $5$ ili $7$.

Ako je $p=2$, jednadžba postaje $2^n-1=1400$. Ta jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima pa ovaj slučaj nije moguć.

Ako je $p=5$, jednadžba postaje $\frac{5^n-1}{4}=560$, odnosno $5^n=2241$. Ta jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima pa ni ovaj slučaj nije moguć.

Ako je $p=7$, jednadžba postaje $\frac{7^n-1}{6}=400$, odnosno $7^n=2401$. Odavde slijedi da je $n=4$. Stoga je jedino rješenje polazne jednadžbe $(p,n)=(7,4)$.

Drugo rješenje.

Jednadžbi ponovno $1+p+p^2+p^3+\cdots+p^n=2801$ oduzmemo $1$ s obje strane, a s lijeve strane izlučimo $p$:

$$p\cdot(1+p+\cdots+p^{n-1})=2800.$$

Kao u prvom rješenju zaključujemo da je $p$ jednak $2$, $5$ ili $7$.

U slučaju $p=2$ lijeva strana jednadžbe djeljiva je s $2$, ali nije s $4$. Budući da je $2800$ djeljiv s $4$, u ovom slučaju nemamo rješenja.

U slučaju $p=5$ lijeva strana jednadžbe djeljiva je s $5$, ali nije s $5$. Budući da je $2800$ djeljiv s $25$, ni u ovom slučaju nemamo rješenja.

U slučaju $p=7$ dobivamo

$$1+7+\cdots+7^{n-1}=400.$$

Za $n=4$ dobivamo rješenje. Za manje $n$ lijeva strana je manja od $2800$, a za veće je veća od $2800$, pa je to jedino rješenje.

Jedino rješenje početne jednadžbe je $(p,n)=(7,4)$.