7. Zadatak

Najveća moguća duljina takvog niza je $300$.

Neka je $n$ duljina tog niza, i neka su $a_1,a_2,\ldots,a_n$ znamenke tog niza.

Promotrimo nekih $202$ uzastopnih znamenaka $a_i,a_{i+1},\ldots,a_{i+201}$. Kako među njima broj jedinica i nula nije jednak, a među znamenkama $a_{i+2},a_{i+3},\ldots,a_{i+201}$ jest, zaključujemo da znamenke $a_i$ i $a_{i+1}$ ne smiju biti različite, odnosno $a_i=a_{i+1}$ za svaki $i$ takav da je $201+i\leq n$.

Neka je duljina niza jednaka $n$. Iz ovoga slijedi da je

$$a_1=a_2=\cdots=a_{n-200}.$$

Kad bismo imali $n>300$, prvih $101$ znamenaka bilo bi jednako. Međutim, to nije moguće jer među prvih $200$ znamenaka je točno njih $100$ jednako. Zato zaključujemo da je nužno $n\leq300$.

Za $n=300$ konstruirajmo primjer niza koji zadovoljava uvjete zadatka. Neka je prvih $100$ znamenaka jednako $1$, sljedećih $100$ znamenaka jednako $0$, a zadnjih $100$ opet jednako $1$.

Kako svakih $200$ uzastopnih znamenaka ovakvog niza sadrži svih $100$ nula, zaključujemo da je među bilo kojih $200$ uzastopnih znamenaka jednako je jedinica i nula. S druge strane, svakih $202$ uzastopnih znamenaka opisanog niza sadrži najviše $100$ nula i barem $102$ jedinice, pa je i drugi uvjet zadovoljen.

Zato je najveća moguća duljina ovakvog niza jednaka $300$.