6. Zadatak

Prvo rješenje.

Četverokut $BDEF$ je tetivan budući da ima dva nasuprotna prava kuta pri vrhovima $F$ i $C$.

Zato su prema jednakosti obodnih kutova kutovi $\angle DFE$ i $\angle DBE$ jednaki.

Analogno, i četverokut $AFEC$ je tetivan.

Zato slijedi jednakost kutova $\angle EFC$ i $\angle EAC$.

Kako su kutovi $\angle ACD$ i $\angle ADB$ pravi, leže na kružnici određenoj promjerom $\overline{AB}$, pa zaključujemo da je četverokut $ABDC$ tetivan.

Zato su kutovi $\angle DAC$ i $\angle DBC$ jednaki prema jednakosti obodnih kutova.

Dakle, vrijedi

$$\angle DFE=\angle DBE=\angle DBC=\angle DAC=\angle EAC=\angle EFC,$$

pa je zaista pravac $EF$ simetrala kuta $\angle CFD$.

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, primjećujemo da su četverokuti $BDEF$ i $AFEC$ tetivni.

Prema jednakosti obodnih kutova u tim četverokutima imamo

$$\angle BED=\angle BFD,$$ $$\angle AEC=\angle AFC.$$

Korištenjem vršnih kutova pri vrhu $E$, dobivamo

$$\angle BFD=\angle BED=\angle AEC=\angle AFC.$$

Iz toga dobivamo

$$\angle DFE=90^\circ-\angle BFD=90^\circ-\angle AFC=\angle CFE,$$

pa je $EF$ simetrala kuta $\angle CFD$.