5. Zadatak

Prvo rješenje.

Primjenom apsolutne vrijednosti na zadnju jednakost dobivamo $4=4|z_3|=3|z_1+z_2|$.

Kvadriranjem dobivene jednakosti $|z_1+z_2|=\frac43$ slijedi

$$\begin{aligned} \frac{16}{9} &=|z_1|^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+|z_2|^2\\ &=2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}, \end{aligned}$$

odnosno $z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=-\frac29$.

Sad računamo

$$|z_1-z_2|^2 =|z_1|^2-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+|z_2|^2 =2+\frac29=\frac{20}{9}.$$

Zaključujemo da je $|z_1-z_2|=\frac23\sqrt5$.

Drugo rješenje.

Primjenom apsolutne vrijednosti na zadnju jednakost dobivamo $4=4|z_3|=3|z_1+z_2|$, odnosno

$$|z_1+z_2|=\frac43.$$

Kako je $|z_1|=|z_2|$, četverokut određen točkama $z_1$, $0$, $z_2$ i $z_1+z_2$ u Gaussovoj ravnini je romb.

Neka je $w=\frac{z_1+z_2}{2}$. U Gaussovoj ravnini to je polovište dijagonale određene dužinom koja spaja $z_1$ i $z_2$.

Dijagonale romba raspolavljaju i sijeku pod pravim kutom.

Zato prema Pitagorinom poučku za trokut određen točkama $0$, $z_1$ i $w$ vrijedi

$$\begin{aligned} |w|^2+|w-z_1|^2&=|z_1|^2,\\ |w-z_1|^2&=|z_1|^2-|w|^2,\\ \left|\frac{z_1+z_2}{2}-z_1\right|^2 &=|z_1|^2-\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|^2,\\ \left|\frac{z_1-z_2}{2}\right|^2 &=1-\left(\frac23\right)^2=\frac59,\\ \left|\frac{z_1-z_2}{2}\right|&=\frac{\sqrt5}{3},\\ |z_1-z_2|&=\frac23\sqrt5. \end{aligned}$$

Treće rješenje.

Neka je $z_k=a_k+b_ki$ za $k=1,2,3$. Tada vrijede jednakosti $a_k^2+b_k^2=1$ za $k=1,2,3$ te $4(a_3+ib_3)=3[(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i]$. To znači da je $4a_3=3(a_1+a_2)$ i $4b_3=3(b_1+b_2)$.

Kvadriranjem zadnjih dviju jednakosti dobivamo

$$16a_3^2=9(a_1^2+2a_1a_2+a_2^2),$$ $$16b_3^2=9(b_1^2+2b_1b_2+b_2^2).$$

Ako ih zbrojimo i iskoristimo da je $a_k^2+b_k^2=1$ za $k=1,2,3$, dobivamo

$$16=18+18(a_1a_2+b_1b_2),$$

tj. $a_1a_2+b_1b_2=-\frac19$.

Sad računamo

$$|z_1-z_2|^2 =(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2 =a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-2(a_1a_2+b_1b_2) =2+\frac29=\frac{20}{9}.$$

Zaključujemo da je $|z_1-z_2|=\frac23\sqrt5$.